Salut à tous
Voilà, je suis vraiment curieux d'avoir une démonstration des branches infinies de la courbe d'une fonction. En fait, le théorème que j'avais étudié était admis et j'ai toujours essayé d'en faire une démonstration, mais je n'ai pas réussi !

Le théorème est simple mais je veux bien savoir le pourquoi du comment :

On a déjà (par exemple) : <math>\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)</math>
Je veux bien savoir pourquoi passer à : <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math> ?

Ce qui engendre trois cas :
* Si <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math> est infinie, alors <math>\(C_{f}\)</math> admet une branche parabolique de direction <math>\((o, \vec j)\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

* Si <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\)</math>, alors <math>\(C_{f}\)</math> admet une branche parabolique de direction <math>\((o, \vec i)\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

* Si <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a ~ ; ~ a \in \mathbb{R}^{*}\)</math>, alors deux cas peuvent se présenter selon <math>\(\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)\)</math>.

- Si <math>\(\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) = b ~ ; ~ b \in \mathbb{R}\)</math>, alors la droite d'équation <math>\(y = ax + b\)</math> est une asymptote oblique à la courbe <math>\(C_{f}\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

- Si <math>\(\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)\)</math> est infinie, alors la droite d'équation <math>\(y = ax\)</math> est une direction asymptotique à la courbe <math>\(C_{f}\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

Ce que j'ai pu constaté et essayé de démontrer c'est que le passage à <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math> était pour voir le comportement du nombre dérivé donc du coefficient directeur de la tangente. En fait, lorsque <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\)</math>, <math>\(C_{f}\)</math> admet une branche parabolique de direction <math>\((o, \vec i)\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>. En effet, dans ce cas, et d'après le graphique, on peut constater que le coefficient directeur de la tangente tend vers <math>\(0\)</math> ce qui est bien le résultat de la limite.

Pour <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \infty\)</math>, on peut aussi constater, à partir d'un graphe, que l'inclinaison de la tangente devient de plus en plus grande et donc son coefficient directeur tend vers <math>\(\infty\)</math> puisque la tangente s'approche de la verticale. Ainsi, le nombre dérivé tend vers <math>\(\infty\)</math> ce qui rejoint le résultat de <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math>.

De même pour <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a ~ ; ~ a \in \mathbb{R}^{*}\)</math>, dans les deux cas qu'engendre <math>\(\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)\)</math>, on peut constater que la tangente tend à être parallèle à la droite <math>\(y = ax\)</math> et donc son coefficient directeur tend vers <math>\(a\)</math>, le nombre dérivé tend vers <math>\(a\)</math>, ce qui est bien le résultat de la limite.

Tout ça est-il vrai ? S'il l'est, comment peut-on avoir une démonstration rigoureuse ?
Vraiment je bloque pour rédiger une démonstration ! Ce n'est pas bien les maths admis .

Merci d'avance pour votre aide .

Intuitivement, cela correspond à diviser par une fonction qui tend aussi vers l'infini pour comparer à quelle "vitesse" elle tendent vers l'infini.

D'où le raisonnement qui s'en suit.

Salut,

Tout d'abord, ce que tu donnes correspond à la définition des branches infinies (voir wikipedia), du coup on ne peut pas "démontrer" que c'est vrai, ça l'est par définition !
En revanche ce que l'on peut faire, c'est essayer de comprendre "intuitivement" pourquoi ces définitions correspondent bien à l'idée "graphique" que l'on s'on fait.

L'idée d'une branche infinie c'est que plus tu regarde ta courbe de loin, plus tu as l'impression qu'elle se confond avec l'axe qui est la direction de la branche alors que en réalité sa distance à l'axe est de plus en plus grand. Par exemple si tu regarde la parabole f(x)=x² dans un repère orthonormé (le normé est important il faut que la graduation des x et des y soit la même pour pouvoir comparer leurs grandeurs respectives) alors plus ton repère sera grand, plus la parabole semble proche de l'axe des ordonnées.

Citation : HighTam

Je veux bien savoir pourquoi passer à : <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math> ?

Le point (x,f(x)) est un point de la courbe du coup faire f(x)/x, c'est faire le rapport de l'ordonnée et de l'abscisse de ce point. Si ça tend vers l'infini ça veut dire que f(x) est plus grand que x, autrement dit que la courbe va coller à l'axe des ordonnées (comme pour la parabole x²). Si au contraire ça tend vers 0, c'est x qui est plus grand que f(x) et on a la même chose mais avec l'axe des abscisses.

Citation : HighTam

Ce que j'ai pu constaté et essayé de démontrer c'est que le passage à <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\)</math> était pour voir le comportement du nombre dérivé donc du coefficient directeur de la tangente. En fait, lorsque <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\)</math>, <math>\(C_{f}\)</math> admet une branche infinie de direction <math>\((o, \vec i)\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>. En effet, dans ce cas, et d'après le graphique, on peut constater que le coefficient directeur de la tangente tend vers <math>\(0\)</math> ce qui est bien le résultat de la limite.

Ce n'est pas vrai. f(x)/x est si tu veux le coefficient directeur de la droite qui passe par (x,f(x)) et (0,0) mas pas celui de la tangente en la courbe.

Dire qu'il y a une branche infinie, ça ne veut pas dire que la fonction est croissante ! Par exemple, la fonction définie par <math>\(f(x)=x^2+3x\sin(x)\)</math>, c'est à dire la parabole à laquelle on ajoute des oscilations en sin(x) n'est pas croissante, elle a des petites oscilations locales, mais elle a quand même une branche infinie en l'axe des ordonnées car le terme sinusoidale est négligeable devant le x².

La différence entre une assymptote et une branche inifinie c'est que la courbe se rapproche de plus en plus de son assymptote alors qu'elle s'éloigne de sa branche infinie (en fait sa distance à la branche tend vers l'infini). Pour une branche infini, le fait que "vu de loin" la courbe semble se confondre à l'axe n'est qu'une "illusion d'optique" due au fait que la distance entre la courbe et l'axe, bien que tendant vers l'infinie, est quand même négligeable devant les autres dimensions de la courbe. Pour revenir à x², la distance de (x,x²) à l'axe des ordonnées est x qui tend vers l'infini quand x tend vers l'infini mais qui est quand même négligeable devant x² (c'est ça qu'exprime <math>\(\lim f(x)/x= \lim x^2/x =\infty\)</math> )

Ahhh je comprends mieux maintenant .
C'est comme si on cherchait à savoir comment évolue <math>\(f(x)\)</math> par rapport à <math>\(x\)</math>.
Et effectivement, si <math>\(f(x) = x^2\)</math>, pour des <math>\(x\)</math> très grands, <math>\(f(x)\)</math> dépasse de loin <math>\(x\)</math>.

Merci infiniment pour votre explication détaillée .

(Mais donc, je ne comprends pas pourquoi mon prof de maths ne cessait pas de dire "...et ceci est admis pour vous", puisque je suis en section sciences expérimentales, je croyais que pour ceux section maths il y avait une démonstration pour tout ça .)

J'ai discuté avec mon prof à propos de ça et il a insisté que c'est un théorème qui nécessite une démonstration ! Et nous (en tant que élèves de secondaires) on n'a pas à savoir cette démonstration qui est hors programme ! Mais est-ce qu'il galère là ou quoi ?

Peut-être que je me trompe. En fait j'ai fait confiance à wikipedia qui dit que ce que tu donnes est la définition. Mais si c'est un théorème, alors c'est quoi la définition d'une branche infinie ? Parce que pour prouver un théorème sur les branches infinies il faut quand même avoir d'abord défini ce que c'est. Et je ne sais pas comment les définir naturellement d'une autre manière. Si quelqu'un a une idée...

Citation : HighTam

J'ai discuté avec mon prof à propos de ça et il a insisté que c'est un théorème qui nécessite une démonstration ! Et nous (en tant que élèves de secondaires) on n'a pas à savoir cette démonstration qui est hors programme ! Mais est-ce qu'il galère là ou quoi ?

oui il y de manière plus générale et plus rigoureuse pour voir ça

en général basé sur la formule de Lagrange (D.L pour les fonctions simples) pour avoir les branches les asymptotes et les points de rebroussement d'un courbe paramétré


(a confirmé )

Exact, on voit ça en Sup notamment.

Merci à vous . Donc, pas question que je puisse démontrer ça.
En même temps, j'ai une petite question, j'aimerais bien savoir les niveaux en France ? Collège puis lycée ? Combien d'années en collège, en lycée ?

5 années de primaire, puis 4 de collège, puis 3 de lycée.

A noter que le lycée n'est pas obligatoire, mais une majorité de gens y vont, on y obtient le BAC.

Merci.