Bonjour, 

J'ai besoin d'aide parce que je bug sur un devoir à rendre. 

On me definis:

U0=3

Un+1=sqrt(Un²+1)

On me demande de conjecturer un en fonction de n:

J'en ai conjecturé Un=sqrt(n+9)

Mais j'arrive pas à démontrer comment. 

Merci de vos futures réponses 

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Edité par Anonyme 16 septembre 2018 à 16:29:00

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Edité par Sennacherib 16 septembre 2018 à 16:48:52

Je n'arrive même pas à comprendre le déroulement pour passer d'un 'systeme' avec u0 et un+1. A une forme juste Un=...

Certes pour trouver la conjecture je n'ai pas eu de difficultés mais pour la démonstration par récurrence, c'est la que je cale depuis 3heures

 c'est quand même un exemple de récurrence assez immédiate... 

si je conjecture que \( u_{n }=\sqrt{n  +9}\), la récurrence consiste à montrer

1 - que c'est vrai pour n=1 ....évident \( u_{n }=\sqrt{u_0^2 +1}=\sqrt{1+9}\)

2- la conjecture sera alors démontrée si , la supposant vraie  pour  \( u_{n }=\sqrt{n  +9}\),  elle  reste vraie pour \( u_{n +1}\)

comme \( u_{n+1 }=\sqrt{u_n^2 +1}\) par définition, je remplace \(u_n\) par sa valeur conjecturée. Donc :

\( u_{n+1 }=\sqrt{(\sqrt{n  +9})^2 +1} = \sqrt{( n  +9 )  +1} =\sqrt{( n  + 1 )  +9} \)  la  relation conjecturée reste vraie au rang n+1 ce qui conclue la démonstration par récurrence .

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Edité par Sennacherib 16 septembre 2018 à 20:00:04