Bonjour à tous,

J'ai remarqué quelque chose concernant les nombres premiers jumeaux mais je ne sais pas comment le démontrer.

Soit (p1;p2) un couple de nombres premiers jumeaux avec p2=2+p1 et p1 > 29.

Alors le reste de la division euclidienne de 2^(2*p2)/p2 par p1 donne une fraction que l'on simplifie de la forme a/b avec a et b deux entiers naturels. Et a-1 est divisible par p2 auquel on ajoute le chiffre 1 à la fin de p2.

Par exemple avec p1=41 et p2=43 on a le reste de la division euclidienne de 2^(2*43)/43 par 41 qui donne la fraction 1294/43. Et 1294-1=1293, or 1293=3*431.

Donc on retrouve bien p2 avec le chiffre 1 à la fin, soit 431. Ce chiffre p2 avec le chiffre 1 à la fin peut être premier ou alors lui-même décomposable également.

Et j'ai trouvé que la propriété ne marchait qu'avec les nombres premiers jumeaux, j'aimerais le démontrer (il semble donc que ça marche à partir du couple (41;43)).

Je vous remercie par avance pour votre réponse.

Bonjour Craw,

Désolé, il y a quelque chose que je ne suis pas sûr de comprendre : "le reste de la division euclidienne de 2^(2*p2)/p2 par p1 donne une fraction".

Peux-tu préciser ce que tu entends par là ? Un reste de division euclidienne qui donne une fraction ? Peut-être est-ce moi, mais je ne vois pas exactement comment tu obtiens ton a/b.

Bref, peux-tu développer un peu les étapes de ton exemple avec (41,43) qui t'amène à 1294/43, parce que je ne vois pas trop comment tu arrives à ce résultat.

Bonjour sylpro,

Je calcule simplement le reste de 2^(2*p2)/p2 par p1.

Par exemple le reste de 2^(2*43)/43 par 41 donne 1294/43, c'est-à-dire environ 30,09

Si ça peut aider je te donne le lien wolframalpha avec lequel je fais le calcul : (2^(2*43))/43 mod 41 - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)

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Edité par Craw 19 octobre 2021 à 12:34:15

Hello,

bon, ta procédure est un peu absconse comme ça ; on va essayer de déblayer un peu tout ça

Donc (p1,p2) est un couple de premier jumeaux.
On commence par calculer N=4^p2 ( = 2^(2*p2) ). N est forcément premier avec p2 (puisque p2 est forcément impair car le deuxième d'un paire de premiers jumeaux). Si on note q le quotient de N par p1 et r le reste, tu calcules P=(q modulo p1)*p2+r-1.

Ta conjecture est que P est un multiple de 10*p2+1 si p1>29.

Par curiosité, j'ai testé ta conjecture sur le 100.000 premiers nombres premiers jumeaux. Et tu sembles avoir raison, les seules exceptions sont (3,5), (5,7), (11,13), (17,19) et (29,31).

Maintenant il faudrait pousser un peu plus loin.

Merci pour tes tests et pour avoir clarifié le problème.

Je ne sais pas si c'est facile à démontrer.

Bah l'idée serait déjà que tu puisses présenter tes algo sous une forme plus compréhensible directement. Je comprends la surprise de Sylpro quand tu parles de raction modulo un nombre …

Je ne sais pas si c'est démontrable.

Bonjour, 

Ce problème a été résolu grâce au théorème de Fermat.