Bonjour !

Je dois prouver qu'un point dont on me donne les coordonnées est le centre de symétrie d'une courbe, or je ne l'ai pas fait l'année dernière en 1èreS donc j'ai cherché sur internet et j'ai à peu près trouvé la marche à suivre qui est la suivante :

Pour montrer que le point A(a ; b) est centre de symétrie de C :
➀ on vérifie que Df est centré en a;
➁ on montre que f(a+h)+f(a−h)=2b.

Cependant je ne sais pas comment faire pour vérifier le ➀, en effet je ne sais pas comment vérifier que l'ensemble de définition est centré en a, je ne sais même pas si cette méthode est juste

J'ai volontairement omis de vous donner mon énoncé pour que je puisse le faire seul avec la méthode, en effet, je passe mon bac seul à la fin de l'année x)

Merci !

La méthode est la bonne.

— Le ➀ sera pratiquement vérifié dans tous les exercices que tu rencontreras (sauf tentative de piège de la part des profs) car tu auras souvent des fonctions définies sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> tout entier. Cette condition permet de s'assurer qu'on pourra toujours écrire le ➁, en effet, si <math>\(D_f\)</math> n'est pas centré en <math>\(a\)</math>, il existe un <math>\(h\)</math> (éventuellement négatif) tel que <math>\(a+h\in D_f\)</math>, mais <math>\(a-h\notin D_f\)</math> et on ne pourra pas écrire <math>\(f(a-h)\)</math>.
Pour vérifier cette condition, on regarde donc l'ensemble de définition <math>\(D_f=[\alpha, \beta]\text{ ou }D_f=]\alpha,\beta[\)</math> et on suppose que <math>\(\alpha\neq-\infty\)</math> et <math>\(\beta\neq+\infty\)</math>. <math>\(D_f\)</math> est centré en <math>\(a\)</math> si <math>\(a=\frac{\alpha+\beta}{2}\)</math>. Si les deux bornes sont infinies (resp <math>\(-\infty\)</math> et <math>\(+\infty\)</math>) n'importe quel <math>\(a\)</math> convient.
Par contre, si une seule des deux est infini, aucun point ne convient. Pareil si l'intervalle est ouvert d'un côté et fermé de l'autre.



— Le ➁ vient directement de la définition de la symétrie centrale :

Si <math>\(A(x_a,y_a)\)</math> et <math>\(B(x_b,y_b)\)</math> sont symétrique par rapport à un point <math>\(I(x_i,y_i)\)</math>, alors <math>\(I\)</math> est le centre du segment <math>\([AB]\)</math>.

Au niveau des coordonnées, cela donne <math>\(x_i=\frac{x_a+x_b}{2}\)</math> et <math>\(y_i=\frac{y_a+y_b}{2}\)</math>. Ici, on prend <math>\(I(a,b)\)</math>, et on regarde les points <math>\(A(x_a,f(x_a))\)</math> et <math>\(B(x_b,f(x_b))\)</math> tels que <math>\(\frac{x_a+x_b}{2}=a\)</math>, pour cela on prend <math>\(x_a=a-h\)</math>, et <math>\(x_b=a+h\)</math>, la première condition sur les coordonnées est donc toujours vérifiée et il faut donc seulement vérifier la seconde, à savoir ici <math>\(\frac{f(x-h)+f(x-h)}{2}=b\)</math> (ou écrit autrement <math>\(f(a-h)+f(a+h)=2b\)</math>) pour tout <math>\(h\)</math> tel que <math>\(a+h\in D_f\)</math> (et <math>\(a-h\in D_f\)</math>, mais ➀ nous assure que c'est vérifié si on a vérifié <math>\(a+h\in D_f\)</math>)

J'espère que ça répond à tes interrogations.

Justement dans mon énoncé on ne travaille pas sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> mais sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>\{1}

Dans le cas, je suppose que <math>\(a=1\)</math> ?

S'il y a des valeurs interdites, il faut qu'elles soient symétriques par rapport à <math>\(y=a\)</math>.
Par exemple, avec <math>\(\mathbb{R}\setminus\{2,6\}\)</math>, il faudra impérativement que <math>\(a=\frac{2+6}{2}=4\)</math>, c'est vrai que j'avais oublié d'en parler.

Oui effectivement a = 1, 1 est la seule valeur interdite de la fonction homographique que j'étudie.

Dans ce cas, c'est bon . Le centre de symétrie de la courbe n'appartient pas forcement à la courbe (par exemple, la fonction <math>\(x\mapsto\frac{1}{x}\)</math> est symétrique par rapport à <math>\(O(0,0)\)</math>, ce qui est équivalent à dire qu'elle est impaire d'ailleurs)

Donc je peux justifier ça comment ?

Bein tu dis que ton ensemble de définition est symétrique par rapport à <math>\(a\)</math> (quitte a dire que pour tout <math>\(h\neq0, 1+h\in D_f \text{ et } 1-h\in D_f\)</math>)

Ensuite tu calcules <math>\(f(1+h)+f(1-h)\)</math> et tu essayes de tomber sur <math>\(2b\)</math>.

Concrètement, ça signifie quoi qu'un ensemble de définition soit symétrique par rapport à a ?

Car je n'ai jamais vu ce genre de chose..

Ça signifie ce que j'ai mis entre parenthèses après quitte à :
Df est symétrique par rapport à a ssi pour tout h non nul tel que a+h appartienne à Df, a-h appartient à Df.
Autrement dit, si x appartient a Df, son symétrique par rapport à a aussi.

Oui c'est ça.
Dire que Df est centré en a ça signifie qu'il y a autant de x "à gauche" de a qu'"à droite" de a (pour des intervalles).
Par exemple Df centré en 0 signifie qu'il y a autant de x négatifs que de x positifs.
Si le domaine est l'ensemble des réels alors Df sera toujours centré en 0 car naturellement il y a autant de x négatifs que de x positifs.

Par exemple pour la fonction <math>\(f(x) = x^2\)</math> définie sur R il y a un axe de symétrie qui est la droite d'équation <math>\((D) : x = 0\)</math>
Df est bien centré en 0 (car fonction définie sur R) et il y a autant de x négatifs que de x positifs.
D'ailleurs si tu "plies" la courbe de la fonction les deux "demi-paraboles" vont se superposer (preuve de l'axe de symétrie).

Une autre remarque concernant l'axe de symétrie c'est que pour une image <math>\(f(x)\)</math> donnée tu as deux antécédents possibles (l'application est surjective, elle n'est pas bijective. Mais elle est surjective sur R mais bijective sur <math>\([0;+ \infty[\)</math> par exemple).
Bien entendu ce n'est pas vraiment une preuve, car tu as des courbes non-symétriques et parfois tu as deux antécédents possibles, mais c'est un élément.

Citation : Craw

Dire que Df est centré en a ça signifie qu'il y a autant de x "à gauche" de a qu'"à droite" de a.

Si c'était ça alors {-2,-1,5,10} serait centré en 0.

Citation : rom1504

Citation : Craw

Dire que Df est centré en a ça signifie qu'il y a autant de x "à gauche" de a qu'"à droite" de a.

Si c'était ça alors {-2,-1,5,10} serait centré en 0.

Je n'ai pas compris mais dans ton exemple tu prends <math>\(Df = [-2;10]\)</math> ?
Si oui bien entendu que Df n'est pas centré en 0 mais ce n'est pas ce que j'ai dit.
Ici il n'y a pas autant de x à gauche de 0 qu'à droite de 0..

EDIT : finalement j'ai compris, mais je parle pour des intervalles moi, pas pour des séries, ce qui n'est pas le cas de l'auteur.
Je vais éditer pour éviter les confusions.

Salut

Je tiens à préciser que ça fait un bout de temps que j'ai pas fait de maths comme ça, mais perso j'aurais fait ça par un changement de repère:

On suppose que la courbe admet le point <math>\(I (a,b)\)</math> comme centre de symétrie. On prend un point <math>\(P\)</math> de coordonnées <math>\((x,y)\)</math> dans <math>\((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\)</math>, et de coordonnées <math>\((X,Y)\)</math> dans <math>\((I,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\)</math>. On peut donc écrire:
<math>\(\overrightarrow{OI} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j}\)</math>
<math>\(\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\)</math>
<math>\(\overrightarrow{IP} = X\overrightarrow{i} + Y\overrightarrow{j}\)</math>
<math>\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IP} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + X\overrightarrow{i} + Y\overrightarrow{j} = (a+X)\overrightarrow{i} + (b+Y)\overrightarrow{j}\)</math>

Donc <math>\(\left\lbrace \begin{array}{ccc} x = a+X \\ y = b+Y \end{array}\right. \left\lbrace \begin{array}{ccc} X = x-a \\ Y = y-b \end{array}\right.\)</math>

Ensuite une fois que tu as ces formules de changement de repère, tu dis que la courbe d'équation <math>\(Y = f(X)\)</math> est admet un centre de symétrie ssi <math>\(f(X)\)</math> est impaire.

C'est peut être pas très rigoureux de la façon dont je l'ai fait vu que c'est de vagues souvenirs de terminal, mais je me souviens que nous pour dire qu'une courbe était symétrique on faisait un changement de repère.

Ca revient au même.
Si <math>\(f\)</math> est symétrique par rapport au point <math>\((a,b)\)</math>, alors <math>\(g:x\mapsto f(x+a)-b\)</math> est impaire (pas besoin de calcul de changement de repère compliqué pour effectuer une translation de la courbe d'un vecteur <math>\(\vect{t}=(-a,-b)\)</math>, la formule doit être vu en seconde).
Ce qui revient à montrer que pour tout <math>\(x\)</math> de <math>\(Dg\)</math>, <math>\(g(-x)=-g(x)\)</math> ie <math>\(f(a-x)-b=-f(a+x)+b\)</math> soit écrit autrement <math>\(f(a-x)+f(a+x)=2b\)</math>

D'ailleurs une question me vient à l'esprit.
Pour des séries telles que <math>\(S = \{x, y, z, w\}\)</math> le domaine est centré en a si <math>\(a - x = w - a\)</math> ?

Par exemple <math>\(S = \{-50, -5, 5, 50\}\)</math> centré en 0 car 0 -(-50) = 50 et 50 - 0 = 50 ?

Pour les accolades met un \ avant ( \{ et \} )
Et sinon oui, enfin il suffit d'appliquer la définition de rushia :
Pour ton exemple il suffit de vérifier que l'opposé de chaque élément de l'ensemble est bien lui aussi dans l'ensemble.
Mais ça ne marche pas vu que -5 n'appartient pas à cet ensemble donc il n'est pas centré en 0.

J'ai édité pour les accolades et pour le -5 (en fait je voulais mettre -5).

Sinon je ne te suis pas, moi je n'ai pas parlé d'opposé.
Si S = {-10,2,3,10} pour moi le domaine est bien centré en 0 car on va de -10 à 10.
Et je dois me tromper sûrement, non ?

Oui parce que la définition c'est, pour une partie A de R :
A est centrée en <math>\(a \in R\)</math> si <math>\(\forall h\in R^+_* a+h \in A => a-h\in A\)</math>

Si on veut déterminer si A={x,y,z,t} est centrée en 0 il suffit de vérifier que <math>\(\forall h\in R^+_* h \in A => -h\in A\)</math> c'est à dire qu'il suffit de vérifier que -x,-y,-z,-t appartiennent à A.

Donc S = {-6,0,5,6} est bien centré en 0 ?
Moi j'ai toujours appris la définition pour les intervalles (qui semble plus simple).
Et je n'avais jamais entendu parler des séries.

M'enfin, ça ne fera pas de mal à l'auteur d'avoir des compléments sur ça lui aussi.

Non puisque -5 n'appartient pas à {-6,0,5,6}.

D'accord.
Mais si c'était pour vérifier que c'était centré en autre chose que 0, genre 5, là on regarde quoi ? Car on ne peut plus regarder les opposés.

Désolé j'avais édité entre temps.

Tu calcules les symétriques par rapport à 5 des éléments de l'ensemble, s'ils appartiennent bien à l'ensemble alors c'est bon.

edit: par exemple {0,2,8,10} : le symétrique de 0 par rapport à 5 c'est 10, celui de 2 c'est 8.

Donc S = {6,8,12,14} est centré en 10.
Ok j'ai compris je crois.

C'est marrant quand même avec les séries parce qu'avec les intervalles il y a juste à justifier comme je l'ai fait vu que les valeurs ne sont pas ponctuelles mais que ce sont des plages de valeurs et que l'on retrouve donc naturellement le symétrique de chaque nombre si le domaine est centré.

Svp quel est le secret caché pour bien comprendre la mathématiques dans son ensemble ??

be curious ( bi-curieux optionnel )

Comme n'importe quel matière, si tu t'y amuses, tu auras ta réponse.

En effet il y'a une formule qui dit pour calculer la centre de symétrie d'un point du cercle on utilise cet formule f(b-x)-f(a+x)=2b moi suis confuse parce que j'arrive par à l'appliquer ! 😓