Salut , donc voici que je suis bloqué sur un exercice et je demande votre aide. Voici l’énonce:

a,b,c, des entiers relatifs distinct de 1 

monter  que a+b<=ab   ET b+c <=bc      implique        a+c<=ac

Merci d'avance pour votre aide.

cette implication est fausse

effacée suite à remarque de robun!

-
Edité par Sennacherib 12 octobre 2019 à 14:44:00

Oui mais il faut des entiers relatifs.

De plus avec tes valeurs de b et c, on a b+c = 0 et bc = -4, donc l'hypothèse b+c <= bc n'est pas vraie.

Ce n'est pas un contre-exemple.

---------

Voici un début de réflexion.

J'ai séparé les a et les b : a+b <= ab est équivalent à b >= f(a) ou b <= f(a) selon que a est > ou < 1, avec f(x) = x/(x-1). Cette fonction n'est pas définie en 1, elle est décroissante, de plus f² = identité, a > 1 ==> f(a) > 1 et b < 1 ==> f(b) <1. J'ai dessiné la fonction pour m'aider à comprendre ce qui se passe.

Si on suppose que a > 1, l'hypothèse est équivalente à : b >= f(a) et c >= f(b) (car si a >1, alors b > f(a) > 1). Notons que b >= f(a) est équivalent à a >= f(b) et de même b >= f(c). Et il faut démontrer que c >= f(a) (ou a >= f(c)).

Si a < 1, c'est la même chose avec des inégalités inversées. Donc je suppose que a > 1.

Récapitulons : il faut démontrer (cas a > 1) que si b >= f(a) et c >= f(b), alors c >= f(a).

Si j'additionne les deux hypothèses : b + c >= f(a) + f(b).

Si jamais b >= f(b), c'est gagné. Or ça se produit uniquement sur [2; +infin[ (ça se voit si on a tracé la courbe). Mais voilà qu'on se souvient que ces nombres sont des entiers relatifs (et à cause de l'hypothèse a>1, ils sont tous >1). Du coup on peut conclure.

Je soupçonne que si a < 1 ça doit marcher avec un raisonnement du même type.

(Moralité : il faut faire un dessin. C'est un traçant l'hyperbole que j'ai pu conclure.) 

(Par contre, j'en ai peut-être trop fait. Je me suis laissé emporter, d'autant que le problème était amusant.)

(Et je ne serais pas étonné qu'il y ait d'autres méthodes plus simples.)

-
Edité par robun 12 octobre 2019 à 13:22:01