Bonjour,

J'ai un petit problème concernant la dénombrabilité de <math>\(\mathbb{N}^k\)</math>. On cherche à le démontrer par récurrence, mais on bloque un peu sur la manière de procéder.
On sait que <math>\(\mathbb{N}\)</math> est dénombrable de même que <math>\(\mathbb{N}^2\mathbb{N}^3\)</math>.

Mais comment généraliser ?

Merci d'avance.

En supposant que <math>\(\mathbb{N}^k \approx \mathbb{N}\)</math> et <math>\(\mathbb{N}^2 \approx \mathbb{N}\)</math> on obtient <math>\(\mathbb{N}^{k+1} = \mathbb{N}^k \times \mathbb{N} \approx \mathbb{N} \times \mathbb{N} \approx \mathbb{N}\)</math>

Citation : krosian

En supposant que <math>\(\mathbb{N}^k \approx \mathbb{N}\)</math> et <math>\(\mathbb{N}^2 \approx \mathbb{N}\)</math> on obtient <math>\(\mathbb{N}^{k+1} = \mathbb{N}^k \times \mathbb{N} \approx \mathbb{N} \times \mathbb{N} \approx \mathbb{N}\)</math>

Quel est le th qui permet de dire <math>\(\mathbb{N}^k \times \mathbb{N} \approx \mathbb{N} \times \mathbb{N}\)</math> ?

Celui qui dit que si A ~ B alors AxC ~ BxC (ça relève plus du résultat direct que du théorème, mais bon), plus l'hypothèse de récurrence que j'ai faite.

Citation : krosian

Celui qui dit que si A ~ B alors AxC ~ BxC (ça relève plus du résultat direct que du théorème, mais bon), plus l'hypothèse de récurrence que j'ai faite.

Ah oui je voie, s'il y a une bijection entre A et B on peut facilement en construire une entre AxC et BxC.

Citation : rom1504

Citation : krosian

Celui qui dit que si A ~ B alors AxC ~ BxC (ça relève plus du résultat direct que du théorème, mais bon), plus l'hypothèse de récurrence que j'ai faite.

Ah oui je voie, s'il y a une bijection entre A et B on peut facilement en construire une entre AxC et BxC.

exactement.

Simplement : A est dénombrable ssi il existe une injection de A dans <math>\(\mathbb{N}\)</math>. Tu considère les k premiers nombres premiers et tu construit :
<math>\(f : \left\lbrace \begin{array}{ccc} \mathbb{N}^k & \to & \mathbb{N} \\ (x_1,x_2,\hdots,x_k) & \mapsto & \prod \limits_{j=1}^k p_j^{x_j} \end{array} \right.\)</math>. C'est clairement une injection (par unicité de la décomposition en facteurs premiers) et donc <math>\(\mathbb{N}^k\)</math> est bien dénombrable