Bonjour,

Voici ci-dessous, l'équation qu'il m'a été donné, je dois trouver la dérivé de celle-ci.

(x^3-1)^2/(x^2+1)^3

Mon problème est que je ne sais pas comment bien manipuler les fonctions en puissance.

Dois-je simplement faire ex : (x^3-1)(x^3-1) et ensuite faire la dériver? Ou dois-je appliquer "La dérivée de fonction de la forme [f(x)]^n avant d'appliquer la dérivée par quotient?

Je suis vraiment mélangé dans mon ordre d'opération...Toute aide sera grandement apprécié, Merci!!

Tu as une fonction de la forme (y*y)/(z*z*z)

Tu peux visualiser cette fonction comme ci-dessus, et calculer la dérivée.  Avec les parenthèses que j'ai mises, c'est visiblement une fraction , et donc , tu vas commencer par appliquer une formule de type (u'v-uv')/v²

Mais tu peux aussi y voir un truc de la forme y*[y/(z*z*z)]

Et du coup, ça se présente sous la forme d'un produit. Tu vas donc utiliser les formules que tu connais pour dériver un produit.

Et là où c'est miraculeux, c'est qu'au final, si tu ne fais pas d'erreurs, tu trouveras la même chose.

Donc, ce que tu peux faire, c'est faire l'exercice 2 fois, avec les 2 approches. Si tu trouves le même résultat, il y a de bonnes chances que ce soit correct, et si tu trouves 2 résultats différents, il faut refaire !

En prenant le problème par l'autre bout

• tu calcules la dérivée de x³-1
• tu en déduis la dérivée de (x³-1)²
• tu fais pareil pour (x²+1)³
• tu t'en sers pour le quotient des deux

Ce calcul est difficile parce qu'il y a deux étapes. Il ne suffit pas de dériver un quotient parce que les numérateur et dénominateur demandent eux-mêmes d'appliquer une formule (à cause des puissances).

Je pense que la méthode la plus simple est de dire que cette fonction est de la forme \( \dfrac{u}{v} \), puis écrire explicitement u et explicitement v (ne pas faire comme le prof qui fait tout de tête pour frimer ).

Alors on applique \( \left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} \).

Il faut donc écrire explicitement u' et v'. Mais ce n'est pas facile car il y a une puissance pour chacun d'eux. Donc on laisse de côté la fraction et on fait comme si le calcul de u' était un autre exercice, et comme si le calcul de v' était encore un autre exercice.

Exercice : calculer la dérivée de \( u(x) = (x^3-1)^2 \).

C'est de la forme \( w^2 \), et on sait que \( \left( w^2 \right)' = 2\cdot w\cdot w' \). Là encore, mieux vaut écrire explicitement ce qu'est w et ce qu'est w', pas besoin de tout faire de tête, ce qui permet de calculer u'.

Exercice : calculer la dérivée de \( v(x) = (x^2+1)^3 \).

On applique la même méthode : on regarde c'est de quelle forme, on écrit explicitement le w (je l'ai appelé w, peu importe, c'est juste que u et v sont déjà pris) et explicitement le w', ce qui permet de calculer v'.

Et maintenant on peut assembler : puisque u, u', v et v' sont connus, on peut appliquer la formule de la dérivée d'un quotient que j'ai rappelé plus haut.

(Je suis re-intervenu pour détailler, mais bien sûr c'est la méthode indiquée par michelbillaud, à part que je l'ai prise par le premier bout...)

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Edité par robun 7 novembre 2017 à 13:19:58

VincentLaborde2 a écrit:

Donc, si je comprend bien, pour u(x) le 2 x w x w' équivaut à ( 2 x (X^3-1) x (3X^2) ).

robun a écrit:

Exercice : calculer la dérivée de \( u(x) = (x^3-1)^2 \).

C'est de la forme \( w^2 \), et on sait que \( \left( w^2 \right)' = 2\cdot w\cdot w' \). Là encore, mieux vaut écrire explicitement ce qu'est w et ce qu'est w', pas besoin de tout faire de tête, ce qui permet de calculer u'.

On peut aussi dire qu'il sagit d'une foule du type : \( f o g \) avec \(  f(x)=x^2 \) et \( g(x) = x^3 -1 \) et \( (fog)'(x) = g'(x) f'( g(x) ) \) 
soit \( u(x)' = 3X^2 * 2 ( x^3 -1 ) \)

sinon, un ornythornque aurait réécrit la fonction avant de la dériver : 

\( \frac{(x^3-1)^2}{(x^2+1)^3} = \frac{1}{x^2+1} \left( \frac{x^3-1}{x^2+1} \right) ^2 \) 
Ce qui se dérive plutôt bien: tu dérive \( \left( \frac{x^3-1}{x^2+1} \right) ^2 \) avec la formule de w^2 donné par robun. et tu sais que la dérivée de f*g = f' g + f g'

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Edité par edouard22 8 novembre 2017 à 0:08:24

Plan de travail :

Sinon, tu demandes poliment à *maxima* de faire le calcul

http://maxima-online.org/

(%i1) diff ( (x^3-1)^2/(x^2+1)^3, x );
                            2   3              3     2
                         6 x  (x  - 1)   6 x (x  - 1)
(%o1)                    ------------- - -------------
                             2     3         2     4
                           (x  + 1)        (x  + 1)

edouard22 : si cet exercice est du niveau du lycée (en France), on ne peut pas utiliser la formule de dérivée de fog, qui n'est plus au programme. (Par contre, la méthode tordue de l'ornithorynque l'est !)

michelbillaud : super, le graphique ! 

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Edité par robun 8 novembre 2017 à 16:43:41