vous faite comment pour les tracers ? faut calculer chaque point ?

On fait comment pour tracer quoi ?  

Tracer le dessin que j'ai fait ? ou bien  tracer les courbes de niveau ? J'imagine que la question porte sur les courbes de niveaux, sinon je suis très inquiet. 

Là encore, il faut comprendre ce que représentent les courbes de niveaux, et là encore, l'analogie avec la géographie est très utile.

En géographie, tracer des courbes de niveau, c'est relier entre eux tous les points qui ont la même altitude. On va par exemple faire une courbe de niveau avec tous les points à l'altitude 100 m, tous les points à l'altitude 200m, et ainsi de suite, par tranche de 100mètres.

Dans les Alpes, on va avoir des courbes très proches les unes des autres , parce que le terrain est très accidenté. Dans le massif central, avec ces saucissonnages par tranches de 100m, on va avoir des courbes plus espacées, et dans la Beauce, on va avoir le calme plat, puisque pour monter de 100m en altitude, il faut faire plusieurs km.

Pour revenir à l'aspect plus mathématique, trouver une courbe de niveau, c'est résoudre une équation... je te laisse chercher laquelle. 

Voyons la fonction f définie par \( f(x,y) = -xy^2 \).

─ Traçons la courbe de niveau de l'altitude 0. Autrement dit on cherche l'ensemble des points (x,y) tels que f(x,y) = 0.

Ça donne : \( -xy^2 = 0 \), dont les solutions sont les couples (x,y) qui ont au moins une coordonnée nulle. Ce sont les axes de coordonnées. On trace les deux axes et on écrit « 0 » à côté.

─ Traçons la courbe de niveau de l'altitude 1. Autrement dit on cherche l'ensemble des points (x,y) tels que f(x,y) = 1.

Ça donne : \( -xy^2 = 1 \). Cherchons à l'écrire sous forme \( y = \varphi(x) \) ou \( x = \psi(y) \) (car on sait tracer ce type de courbe depuis le lycée). Ici on obtient \( y^2 = -1/x \) ou \(x = -1/y^2 \). La première égalité donne aucune ou deux fonctions \( \varphi \) en passant à la racine carrée (plus ou moins racine carrée de truc), c'est pas génial. Je préfère donc la deuxième égaité, qui aboutit à \( \psi(x) = -1/y^2 \). On sait tracer l'allure de cette courbe (elle ressemble à la courbe de la fonction inverse, en plus « serrée près de O » et en n'oubliant pas le signe moins). Bon, on la trace et on écrit « 1 » à côté.

─ Traçons la courbe de niveau de l'altitude -1. De même on aboutit à \( \psi(x) = 1/y^2 \). C'est pareil que tout à l'heure sauf qu'il n'y a pas de signe moins.

─ De façon générale, traçons les courbes de l'altitude z (où z est fixé). On peut par exemple séparer les cas z>0 et z<0.

Mais bon, commence d'abord par bien comprendre les notions de base.

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Edité par robun 2 octobre 2016 à 0:31:12

Je reviens vers vous car j'ai pas réellement compris à quoi sa sert l'approximation affine locale, j'ai bien relu tous les messages depuis le début mais j'ai pas très bien compris.

Une petite explication simple s'il vous plait. Sans lettre ou signe bizarre 

Approximation affine locale ... chacun de ces 3 mots à un sens qu'il suffit de rappeler : 

Approximation : on parle donc d'une fonction g qui ressemble à une fonction f prédéfinie 

Affine : Notre fonction approximative g est l'équation d'une droite.

Locale :  Notre droite d'équation y = g(x) ressemble à f tant que x est proche d'une valeur cible x0, mais l'approximation n'est plus forcément valable quand x s'éloigne de la valeur étudiée x0

On est donc en train de parler de la droite  (affine)  qui colle le mieux (approximation) à la courbe étudiée en un point précis (locale). Parfois, on appelle cette droite la tangente à la courbe.

Si on n'est pas en dimension 2 mais en dimension 3 (dérivées partielles donc), on parle du plan qui est tangent à la surface au point étudié. Et si on est en dimension supérieure, on par de l'hyperplan tangent... mais c'est une autre histoire.

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Edité par tbc92 27 octobre 2016 à 21:05:39

donc, si j'ai bien compris, il s'agit de trouver l'équation de la tangente, le plus proche d'un point ...

(je n'ai pas relu toute la conversation, donc possible que je dise une bêtise par rapport à la question initiale)

La tangente est une approximation affine locale, peut être celle qui est la meilleure dans la plupart des cas (pas toujours selon le voisinage qu'on regarde).

Mais une approximation affine locale n'est pas forcément une tangente à la courbe.

Linéaire a écrit:

donc, si j'ai bien compris, il s'agit de trouver l'équation de la tangente, le plus proche d'un point ...

Il s'agit effectivement de trouver la tangente.... je ne suis pas sûr qu'ajouter les mots 'le plus proche d'un point', ça apporte quelque chose à la phrase.

@oowaka ... ah??????

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Edité par tbc92 27 octobre 2016 à 23:29:21

Mais alors, cette formule sert à quoi : f '(a) (x - a) + f(a)

Y'a plusieurs moyen de calculer la tangente ?

J'en profite, je n'arrive pas à dérivé x/y . J'applique cette formule u'v-uv' / v² 

Et je trouve ceci : 1-x / y

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Edité par Linéaire 28 octobre 2016 à 0:18:08

Cette formule est justement celle qui donne l'equation de la tangente... T'en connait d'autres ? (Je viens de check, dans ce sujet il n'y en a pas, sauf avec plusieurs variables où ta formule est le cas n=1)

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Edité par Grob' 28 octobre 2016 à 0:10:02

Dérivée, tangente, approximation affine locale :  3 expressions pour désigner une seule et même chose.

Grob' a écrit:

Cette formule est justement celle qui donne l'equation de la tangente... T'en connait d'autres ? (Je viens de check, dans ce sujet il n'y en a pas, sauf avec plusieurs variables où ta formule est le cas n=1)

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Edité par Grob' il y a 8 minutes

Oui j'ai cité f'(a)(x-a) + f(a) mais fans mon cours, j'ai celle ci f(a +h ) = f(a) + hf(a)

J'en profite, dans mon post précedent, en éditant, j'avais fait par de mon problème à dérivé x/y

Et si h=(x-a) ?

tu derives x/y par rapport à quelle variable ?

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Edité par Grob' 28 octobre 2016 à 1:20:07

Dériver \( \dfrac{x}{y} \) n'a aucun sens car\( \dfrac{x}{y} \) est une expression, or ce sont les fonctions qu'on dérive.

S'il s'agit de la fonction \( x \mapsto \dfrac{x}{y} \), pour la dériver il faut remarquer que y est une constante et appliquer la formule qui donne la dérivée de \( x \mapsto C \cdot x \) (on trouvera comme expression de la dérivée \( C \)).

S'il s'agit de la fonction \( y \mapsto \dfrac{x}{y} \), pour la dériver il faut remarquer que x est une constante et appliquer la formule qui donne la dérivée de \( y \mapsto \dfrac{C}{y} \) (on trouvera comme expression de la dérivée \( \dfrac{-C}{y^2} \) ).

S'il s'agit de la fonction \( z \mapsto \dfrac{x}{y} \), pour la dériver il faut remarquer que x et y sont des constantes et appliquer la formule qui donne la dérivée de \( z \mapsto C \) (on trouvera comme expression de la dérivée \( 0 \) ).

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Edité par robun 28 octobre 2016 à 11:40:07

tbc92 a écrit:

@oowaka ... ah??????

Comme dit plus haut, je n'ai pas relu tout le sujet, donc je ne sais pas ce que recherche réellement le PO. Mais je réitère : oui, une approximation affine locale n'est pas forcément une tangente !

Prenons pour exemple la fonction \(f:x\mapsto x^2\). La tangente en \(1\) à la courbe d'équation \(y=f(x)\) est la droite d'équation \(y=2x-1\). Cette droite est en effet une approximation affine locale. Cependant, la droite d'équation \(y=2x-1+\varepsilon\)  où \(|\varepsilon|\ll 1\) est aussi une approximation affine locale à la courbe d'équation \(y=f(x)\). La différence est quelle ne passe pas par le point \((1,f(1))\), selon le signe de \(\varepsilon\) elle peut même ne pas couper la courbe d'équation \(y=f(x)\)... Mais vu que \(\varepsilon\) est très petit, elle approche bien de manière affine la courbe d'équation \(y=f(x)\) au voisinage du point \((1,f(1))\) ! 

Ensuite, un exemple où la tangente n'est pas la meilleure approximation d'une fonction ! Prenons la fonction \(g(x)=\alpha \sin(x)\). Une approximation tangente serait la fonction \(g_0(x) = \alpha\). Cependant, aux points \(x\in\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb Z\right\}\), l'écart de \(g\) à \(g_0\) vaut \(2\alpha\). Il est donc préférable de prendre la fonction \(g_1(x)=0\) comme approximation de \(g\) car l'écart maximal sera de \(\alpha\) ! Et pourtant, la droite d'équation \(y=g_1(x)\) n'est jamais tangente à la courbe d'équation \(y=g(x)\) ! Tout dépend donc du voisinage \(\mathcal V\) étudié (là, j'ai fait exprès, sur une fonction simple, de prendre \(\mathcal V =\mathbb R\) )!

@Linéaire : 

tu donnes cette formule f(a+h) = f(a) + h f'(a)    (j'ai remplacé f par f' là où il fallait)

Par ailleurs , tu as cette formule : f'(a) * (x-a) + f(a)

Tu ne vois pas que ces 2 formules, c'est 2 façons d'écrire la même chose ? (un petit changement de variable h= x-a ... au passage , non ???)

Tu dis que tu es en prépa. Je ne sais pas quelle filière, mais j'espère juste que ce n'est pas une prépa scientifique.

Il s'agit bien d'une prépa MPSI, en prépa on demande juste de savoir appliquer, apprendre puis reproduire ... 

Je n'ose pas poser ce genre de questions en cours et tente plûtot de comprendre par moi même. Mais d'où sort le x-a .

Et pour la dérivé de x/y , vous utiliser la formule u'v-uv' / v² ? 

Euh... l'équation d'une tangente, c'est pas au programme de 1ère S ??? Pour le retrouver : une feuille, un stylo. Tu traces une courbe et à un point donné, sa tangente. Et tu cherches l'équation de cette tangente... Le \(x-a\) va venir tout seul ! Ensuite, pour le lien avec le développement limité, ben tu as juste à faire un changement de variable (celui proposé par tbc92) !!!

Pour "la dérivée de de \(\frac{x}{y}\)" (afin de reprendre tes termes), je te renvoie à la réponse de Robun ! Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce qu'il a écrit ?

Donc voilà, x-a n'est pas la même formule que f(a) + hf'(a) . Dans l'une on utilise pas x-a et dans l'autre si. 

Pour ce qui est de la dérivée, Je vois pas bien le résultat, je ne sais pas qu'elle formule il utilise pour dérivée sa et pour finir j'ai pas les étapes de dérivations mdr. Non plus serieusement, a aucun moment il ne parle de cette formule u'v- uv' / v².

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Edité par Linéaire 28 octobre 2016 à 16:03:34

Euh... revenons aux fondamentaux... Les variables sont muettes, c'est à dire que tu peux les remplacer par une autre !!! Ici, tu as :

\[f(a+h) = f(a) + hf'(a) + o(h)\]

Maintenant, tu poses \(h=x-a\) (tu as tout à fait le droit de le faire vu ce que je t'ai rappelé juste avant) ! Tu obtiens donc :

\[f(a+x-a) = f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + o(x-a)\]

Ce qui veut dire que \(f(a)+(x-a)f'(a)\) approche \(f(x)\) lorsque \(x-a\) tend vers \(0\) ! Et... comme par hasard... on retrouve la formule de la tangente !!! C'est pas merveilleux ???

Autre fondamental : on ne dérive pas une expression, mais une fonction par rapport à une variable donnée ! Pour une fonction \(f:x\mapsto f(x)\) à une variable, il n'y a pas d'ambigüité, donc on se permet d'écrire \(f'=\frac{\text df}{\text dx}\) la dérivée de cette fonction par rapport à sa variable. Dans le cas de fonctions à plusieurs variables, ce n'est plus le cas ! Il est donc nécessaire de préciser par rapport à quelle variable on dérive (et donc de les nommer). Pour une fonction \(g:(x,y)\mapsto g(x,y)\) à deux variables (qu'on nomme ici \(x\) et \(y\), mais qu'on aurait pu nommer \(x_0\) et \(x_1\)), a priori indépendantes (on n'a pas \(y:x\mapsto y(x)\) ou quelque chose dans le genre) ! On écrira donc \(\frac{\partial g}{\partial x}\) sa dérivée par rapport à la variable \(x\) (dans quel cas \(y\) est une constante) et \(\frac{\partial g}{\partial y}\) sa dérivée par rapport à \(y\) (et ici, \(x\) est une constante). C'est ce qu'on appelle les dérivées partielles !

La formule que tu donnes est lorsqu'on cherche à dériver par rapport à une variable donnée le ratio de deux fonctions de cette variable. Si \(u:x\mapsto u(x)\) et \(v:x\mapsto v(x)\neq 0\), on note \(w:x\mapsto w(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\). Dans ce cas, \(w'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\).

Ici, ta fonction, nommons-la \(f\), est à deux variables \(x\) et \(y\). On a \(f:(x,y)\mapsto \frac{x}{y}\). \(x\) et \(y\) sont les variables de ta fonction, pas des fonctions en tant que telles ! Donc pourquoi vouloir appliquer la formule de dérivation du ratio de deux fonctions d'une même variables ? Ici, tu dois dériver par rapport à une variable puis par rapport à l'autre. Raison pour laquelle je te renvoyais à ce que Robun te disait !

edit :

Je viens de voir la modification de ton message par l'ajout de ton image... j'espère que ce message t'aidera à comprendre ce qui ne va pas dans ce que tu as écrit !

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Edité par oowaka 28 octobre 2016 à 16:23:14

Quand tu dérives x/y ... ou quand du dérives x/a , ou quand tu dérives b/y , c'est la même mécanique, ou pas ???

En principe oui, puisque a, b, x ou y sont des symboles, qui représentent des variables,  ... ces symboles sont en principe interchangeables.

Mais à l'usage, on a pris pour habitude de réserver les lettres x et y pour les variables, et les lettres a et b pour les constantes.

Donc dériver x/y, c'est dériver un truc où il y a 2 variables.

Quand il y a 2 variables, il y en a une de trop.

Normalement, tu a entendu parler de dérivées partielles, et tu as vu la notation df/dx ou df/dy : on dérive la fonction f , soit par rapport à la variable x, soit par rapport à la variable y.

Donc, ta question , si on veut lui donner un sens, on la reformule en écrivant : on a une fonction f, définie par f(x,y) = x/y, et on cherche à calculer les 2 dérivées partielles df/dx et df/dy. Là on commence à parler sérieusement.

Cette phrase, c'est la même chose que ta question : comment on dérive x/y ?

Sauf que moi, j'ai pris le peine d'être rigoureux et d"écrire les choses comme elles doivent l'être.

Edit : Avec des mots un peu différents, on est 2 à te dire exactement la même chose !

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Edité par tbc92 28 octobre 2016 à 16:23:17

Linéaire a écrit:

Et pour la dérivé de x/y , vous utiliser la formule u'v-uv' / v² ? 

La dérivée de x/y par rapport à quelle variable ????????????????????????????????????

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Je me suis cassé la tête à rédiger une explication détaillée en expliquant quelles formules j'utilisais. Lis les réponses.

Si tu ne comprends pas ma réponse, indique précisément ce que tu ne comprends pas.

> Je vois pas bien le résultat,

Approche-toi de l'écran

> je ne sais pas qu'elle formule il utilise pour dérivée sa

Approche-toi de l'écran, je les ai écrites explicitement.

> a aucun moment il ne parle de cette formule u'v- uv' / v².

Cette formule n'a aucun rapport avec le problème.

. 

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Edité par robun 28 octobre 2016 à 17:32:42

Je crois que si un élève de première ou de terminale posait ces questions, on serait ouvert, mais entendre ces questions d'un élève de prépa, ça fait vraiment penser que notre Education Nationale va très mal. Et ça engendre forcément une certaine colère quand on est attaché comme nous au niveau de l'E.N.

Donc pour résumer, quand je vois pas de dx/dy du style, je vois que dans x/y , il y'a 2 variable donc je dérive un coup par x puis par y. 

Si on rajoute une variable t , c'est x puis y puis t ?

Oh vous savez, le système se porte mal, On apprend tellement de choses qui servent à rien, Je me demande d'ailleur si d'ici 10- 15 ans, les prépas existeront encore ... 

Vive la République, et surtout vive la France

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Edité par Linéaire 28 octobre 2016 à 20:06:12

Si tu vois x/y, tu t'assures d'avoir bien lu l'énoncé sans sauter une ligne, tu regardes le contexte, et tu réfléchis.

Ensuite tu avises, et tu fais ce qui paraît le plus pertinent.

Linéaire a écrit:

Donc pour résumer, quand je vois pas de dx/dy du style, je vois que dans x/y , il y'a 2 variable donc je dérive un coup par x puis par y. 

Si on rajoute une variable t , c'est x puis y puis t ?

Oh vous savez, le système se porte mal, On apprend tellement de choses qui servent à rien, Je me demande d'ailleur si d'ici 10- 15 ans, les prépas existeront encore ... 

Où t'a-t-on parlé d'ordre dans les dérivations ? Si on te dit \(\frac{\text df}{\text dx}\) alors tu dérives par rapport à \(x\). Si on te dit \(\frac{\text df}{\text dy}\) alors tu dérives par rapport à y. Si on te dit \(\frac{\text df}{\text dt}\) alors tu dérives par rapport à \(t\). Et toutes les variables autres que celle de dérivation sont des constantes !

Non, tout ce que tu apprends ne sert pas à rien. C'est au minimum de la culture. Pour l'instant, tu n'y vois peut être pas un intérêt. Plus tard, tu verras que si. Juste pour rester dans les maths, il est fréquent qu'une démonstration puisse être faite de plusieurs manières : en analyse ou en géométrie par exemple !

Le système des Grandes Écoles est tellement ancré dans le système français que ça m'étonnerait que les CPGE n'existent plus dans 10-15 ans... Et si c'est le cas, quelque part, tant mieux : ça évitera un enseignement supérieur à 2 vitesses où tout l'argent est mis pour une élite et où on laisse les autres se démerder (beaucoup de raccourcis dans cette phrase ^^). Si tu es en MPSI, tu devrais être dans cette élite. Or, à avoir donné des cours de math à des L1 en Biologie il n'y a pas très longtemps, je peux t'assurer que ceux-ci se débrouillaient bien mieux que ça ! :/

Je suis persuadé que d'ici 10-15 ans, l'éducation telle qu'on la connais aujourd'hui ne sera plus pareil, plus de BAC, un apprentissage au cas par cas, des MOOC, les diplômes ne valent rien, il faut regarder les certifications ... 

Bref pour revenir à notre histoire de dérivation, il aurait falu tout simplement m'écrire ceci df/dydx.

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Edité par Linéaire 28 octobre 2016 à 20:46:00

Linéaire a écrit:

Je suis persuadé que d'ici 10-15 ans, l'éducation telle qu'on la connais aujourd'hui ne sera plus pareil, plus de BAC, un apprentissage au cas par cas, des MOOC, les diplômes ne valent rien, il faut regarder les certifications ... 

Bref pour revenir à notre histoire de dérivation, il aurait falu tout simplement m'écrire ceci df/dydx.

Ce n'est pas parce que les apprentissages alternatifs prennent de plus en plus d'ampleur que l'état ne proposera plus d'enseignement classique, bien au contraire... 'fin bon, tel n'est pas le débat !

Il aurait fallu t'écrire \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\) pour quelle question ??? À aucun moment tu ne nous as posé une question dans le genre...  Tu nous as demandé comment on dérivait \(\frac{x}{y}\), ce à quoi on t'a répondu qu'on dérivait par rapport à une variable, et on t'a même donné les dérivations par rapport à chacun de ces variables !

Donc pour résumer, quand je vois pas de dx/dy du style, je vois que dans x/y , il y'a 2 variable donc je dérive un coup par x puis par y. Si on rajoute une variable t , c'est x puis y puis t ?

Tu as l'air de croire qu'il y a une dérivée. Non, il y a des dérivées partielles : une par variable. Si la fonction dépend des coordonnées (x, y, z), il y aura trois fonctions (dérivées partielles) distinctes à calculer.

Savoir calculer des dérivées partielles est extrêmement important car c'est la base de l'étude des équations aux dérivées partielles, qui sont les équations qui interviennent dans à peu près tous les problèmes physiques, en particulier dans les problèmes qu'étudient les ingénieurs, métier qui pourrait être le tien un de ces jours...

En physique, les fonctions ont toujours plusieurs variables, typiquement quatre : les coordonénes (x, y, z) et le temps t. Les équations de base s'écrivent en fonctions d'opérateurs appelés gradient, divergence, rotationnels, laplaciens, etc. qui sont définis à partir de dérivées partielles. Il faut maîtriser les dérivées partielles.

Bref, revois ce cours en repartant de zéro.

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Edité par robun 28 octobre 2016 à 21:24:23

robun a écrit:

Bref, revois ce cours en repartant de zéro.

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Edité par robun il y a environ 1 heure

après 59 messages, je viens de voir que on arrive enfin à la bonne conclusion ... que j'avais déjà anticipée lors de mon seul post au tout début   
 ...et à ce moment là je n'avais pas compris qu'on était niveau MPSI.....    

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Edité par Sennacherib 28 octobre 2016 à 23:23:47