bonjour à tous!

Il m'a été doné un devoir de maths à faire et je bloque sur une question.

VOICI LE SUJET:

Pour tout réel 𝑘 ≠ 0, on considère la fonction 𝑓𝑘 définie sur ℝ par : 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑘 3 𝑥 3 − 𝑘𝑥 2 + 𝑥 − 1. On note 𝐶𝑘 sa courbe représentative.

Partie A A l’aide de la calculatrice, conjecturer les variations de la fonction 𝑓𝑘 sur ℝ pour chacun des cas suivants : 1. 𝑘 = −3 2. 𝑘 = 1 2 3. 𝑘 = 6 .

Partie B 1. Après avoir calculé la dérivée de la fonction 𝑓𝑘, démontrer les conjectures émises dans la partie A. 2. Dans cette question, on suppose que la fonction 𝑓𝑘 :  n’est pas monotone ;  admet alors deux extremums. On note 𝐴 et 𝐵 les points de la courbe 𝐶𝑘 associés à ces extremums ; 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵]. Justifier que, lorsque le réel 𝑘 varie, le point 𝐼 appartient à une droite dont on donnera une équation.

Du coup j'ai finis la partie A et la première question de la partie B. Par contre je galère vraiment pour la 2 de la partie B.

 je sais qu'une fonction est monotone quand elle est soit croisante soit décrousaante sur R mais après je sais pas quoi faire.

j'espère vraiment que vous pourez m'aider.

Ps: désolé pour les fautes d'orthographes et merci d'avance pour votre aide

On te parle des cas où la courbe admet 2 extrémums. Ca concerne donc certaines valeurs de k, pas toutes.

Normalement, tu sais trouver les abscisses des extremums dont on te parle, en fonction de k : x1(k) et x2(k) : il faut résoudre une équation ... ....

Dans un second temps, tu peux trouver les ordonnées des 2 points en question, toujours en fonction de k : y1(k) et y2(k)

Dans un 3ème temps, tu peux trouver les coordonnées du point milieu : x3(k) et y3(k)

Et dans un 4ème temps, il faut montrer que tous ces points (x3(k),y3(k) sont alignés.

Voilà, j'ai fait la moitié du travail.

bonjour,

justement j'ai calculer la dérivé puis le disciminant qui a pour valeur:

delta=-2k^2-4k>0

mai je n'arrive pas a caluculer k(x1)et k(x2) par ce que mon delta est négatif.

merci pour votre réponse

Tu écris delta=-2k²-4k>0     et tu dis que delta est négatif.

Delta est positif au début de la ligne, et négatif à la fin. Je ne comprends pas trop.

Pour moi, -2k²-4k, c'est parfois négatif, et parfois positif. Ca dépend des valeurs de k.  

Et on ne cherche pas k(x1), mais x1(k) 

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Edité par robun 27 mars 2021 à 22:13:45

je suis désolé mais j'y arrive vraiment pas

Delta =-2k²-4k=-2k(k+2)

Si k et k+2 sont de même signe, c'est à dire si k est en dehors de l'intervalle [-2,0], alors ce Delta est négatif.

Mais si k et k+2 sont de signes différents, c'est à dire si k est dans ]-2,0[, alors ce Delta est positif.

Et si k vaut -2 ou 0, ce Delta est nul.

Je pars du principe que jusque là, tout était bon. Je ne fais qu'analyser le signe de -2k²-4k.  

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Edité par robun 28 mars 2021 à 13:23:17

oui et j'obtiens x1(k)= −

et x2(k)=−

Oui, ( je ne vérifie aucun calcul, je m'intéresse juste au plan ...)

 Reprends le plan du départ.

Tu as les abscisses de 2 pts ; tu peux calculer les ordonnées de ces 2 pts : y1 = f(x1)  et y2 = f(x2)     f étant la fonction donnée dans l'énoncé de l'exercice.

Tu as donc 2 points (x1,y1)  et (x2,y2)  

Et ensuite, on veut le milieu de ces 2 points.

Il y a beaucoup d'étapes dans tous ces calculs, mais chaque étape est 'sous-controle'...

Juste pour vérifier les calculs, pourrais-tu réécrire la fonction de départ en utilisant le symbole ^ ? Là tu as écrit :

mimi2004 a écrit:

Pour tout réel 𝑘 ≠ 0, on considère la fonction 𝑓𝑘 définie sur ℝ par : 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑘 3 𝑥 3 − 𝑘𝑥 2 + 𝑥 − 1.

Il s'agit bien de k^3 x^3 - k x^2 + x - 1 ? (c'est-à-dire \( k^3 x^3 - k x^2 + x - 1 \) ?) Si oui je ne trouve pas la même chose. Ou alors tu n'as pas donné la bonne fonction ?

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Edité par robun 28 mars 2021 à 16:15:16

k/3(x^3)-k(x)^2+x-1

Aaaaah OK ! Dans ce cas je trouve \( \Delta = 4k(k-1) \). Comme on a fait l'hypothèse que la fonction admet deux extremums, on a forcément \( \Delta > 0 \). Je te laisse en déduire quelles sont les valeurs possibles de \( k \) pour ça. J'arrive à calculer les abscisses de A et B mais pas leur ordonnée : trop compliqué et inutile. En fait, quand on voit la tête des abscisses, on se rend compte que le milieu de [AB] aura toujours la même abscisse, il fait donc partie de la même droite verticale dont l'équation est x = cette abscisse.

Tu dis que :

x1(k)= −k−√k(k−1)k

Je pense que là encore il manque une barre de fraction :

x1(k)= (k−√k(k−1))/k

Je trouve :

\( x = \dfrac{k \pm \sqrt{k}\sqrt{k-1}}{k} \)

qui mène à :

\( x_A(k) = 1 - \varphi(k) \) et \( x_B(k) = 1 + \varphi(k) \) où \( \varphi(k) \) désigne une certaine expression qui dépend de \( k \) qu'il n'est d'ailleurs pas indispensable de simplfier. Reste à calculer \( x_I(k) \) où I est le milieu de [AB] et à conclure.

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Edité par robun 29 mars 2021 à 9:38:46