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dérivées

Sujet résolu
    7 octobre 2018 à 12:58:48

    Bonjour je suis le cours "Mécanique de zéro", et je suis en train de lire l'annexe sur la dérivation comme conseillé.

    Cependant je ne comprends pas du tout une partie du cours. Je  ne comprends pas du tout le "-1/h1(x)²" pour df/dh(x) ni dh1/dx .

    Help !

    Maintenant, pour dériver une fonction composée, il faut la reconnaître et savoir calculer les dérivées de chacune des fonctions qui la compose.

    La formule s'écrit :

    df/dt=df/dθ×dθ/dt

    On peut s'en rappeler en se disant que l'on considère que c'est une fraction. D'ailleurs en physique, c'est souvent comme ça que l'on considère l'opération de dérivation. Cette technique donne des résultats comme v=dxdtdx=vdt

    ou encore dx/dt=(dt/dx)1

    .

    Il ne faut pas les utiliser en maths car elles demandent en fait beaucoup d'hypothèses que l'on supposera toujours vérifiées en physique, c'est l'avantage. ^^
    Maintenant, ne vous affolez pas, je vais donner des exemples ;) , les trois d'au-dessus.

    • f1(x)=1/x=1/h1(x)=g1(h1(x))

    avec h1(x)=x et g1(x)=1/x, on a df1/dx=df1/dh1×dh1/dx. On considère alors la fonction h1 comme une variable.
    Ce résultat donne :
    df1/dx(x)=(1/h1(x)2)×(1/2x)=1/(√x)2×2√x=1/2x√x


    car df1/dh1=d/dh1(1h1)(x)=1/h1(x)2=1/√x2=1/x   


    -
    Edité par BKettle 7 octobre 2018 à 13:02:59

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    https://fr.wikipedia.org/wiki/Black_Kettle | Error 418, I'm a teapot
      7 octobre 2018 à 14:48:24

      il y a trois exemples de calcul\(f_1(x), f_2(x),f_3(x)\) donc si tu ne comprends pas le premier, ...tu ne comprends pas le second et troisième, non plus alors ? parce que le principe est exactement le même.

      pour le premier , on a \(x \rightarrow h_1(x) =\sqrt{x} \rightarrow g_1(h_1(x))=\frac{1}{h_1(x)}\)

      On compose donc \(f_1(x)=g_1(h_1(x))\) où il faut comprendre que \(g_1(x)\) est la fonction\(\frac{1}{x}\) où on remplace \(x\) par \(h_1(x)\)

      En appliquant le théorème des fonctions composées, on doit donc écrire: \(\frac{df_1(x)}{d x } =  \frac{dg_1(h_1(x))}{d(h_1(x))}\frac{d h_1(x)}{d x }\)

      Ce qui est sans doute perturbant si on débute dans ce genre de manipulation, c'est que la fonction devient la variable et il faut dériver par rapport à la fonction en "oubliant" \(x\) dans un premier temps 

      Donc pour \( g_1\), on a  \(\frac{dg_1(h_1)}{d(h_1 )}= -\frac{1}{h_1^2}\) ( on dérive comme \(\frac{1}{x}\) mais en remplaçant \(x\) par \(h_1\))

      Pour \(h_1\), c'est par contre une dérivation par rapport à \(x\) soit \( \frac{dh_1(x)}{d x }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

      Finalement   \(\frac{df_1(x)}{d(x)} =-\frac{1}{h_1^2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\) et on revient à \(x\) sachant que \(h_1(x)=\sqrt{x}\), d'où:

      \(\frac{df_1(x)}{d(x)} =- \frac{1}{2x\sqrt{x}}\).:p

      Il est évident que cet exemple est illustratif du mécanisme. Ici en pratique , on se dispenserait  des fonctions composées en dérivant la fonction puissance \(x^{-1/2}\) avec un résultat immédiat!

      -
      Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 15:11:47

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      tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
        10 octobre 2018 à 19:02:06

        Bonjour désolé d'insister, mais je ne comprends toujours pas d'où sort le -1/(h1)² ..

        J'ai essayé de dériver 1/x (avec x1 du coup comme h) et je tombe sur (1/x² - 1/(x1)²)     /      (1+x) / (x1). Pourrais tu s'il te plait me montrer les étapes pour dériver 1/x ? je ne suis pas sur d'avoir totalement compris le mécanisme.

        J'ai essayé de faire f(x1 +h) - f(x1) / h.

        Merci encore

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        https://fr.wikipedia.org/wiki/Black_Kettle | Error 418, I'm a teapot
          10 octobre 2018 à 23:05:46

           c'est quoi ton niveau en maths ? :o 

          Si on veut revenir aux fondamentaux de la définition du nombre dérivé....

          \(f(x_1+h)-f(x_1)=\frac{1}{x_1+h} -\frac{1}{x_1 } =\frac{x_1-x_1-h}{x_1(x_1+h)}=-\frac{ h}{x_1(x_1+h)}\)

          Donc \(\frac{f(x_1+h)-f(x_1)} {h} = -\frac{ 1 }{x_1(x_1+h)}\) 

          Et donc si  \(h \rightarrow 0 \) pour obtenir la valeur de la dérivée, on trouve bien \(-\frac{1}{x_1^2}\)

          -
          Edité par Sennacherib 10 octobre 2018 à 23:11:03

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          tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
            11 octobre 2018 à 7:44:50

            Bonjour, niveau première(suis en premiere) . Je fait ce cours juste comme ça, et de toute manière il est bien dit qu'on pouvait le faire en partant de zéro mais bon. Merci pour tes explications j'ai (enfin) compris.  Je m'étais un peu perdu avec ces formules un peu partout.
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            https://fr.wikipedia.org/wiki/Black_Kettle | Error 418, I'm a teapot

            dérivées

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