Je pense que tu te compliques les choses avec les coefficients. À mon avis il serait plus simple de commencer par démontrer que (au)' = au' ou (a/u)' = a/u' (où a est une constante) et, ensuite, se contenter de regarder des expressions simples, par exemple \( \dfrac{1}{x^d} \).
Attention : tu ne devrais pas enchaîner lim(truc) = lim(machin) = lim(bidule), mais plutôt truc = machin = bidule, car ce n'est qu'à la fin du calcul, une fois qu'on a simplifié certains h, qu'on peut être sûr qu'il y a une limite (ou pas).
La difficulté est dans le \( \dfrac{1}{h} \left( a^d-(a+h)^d \right) \). Je suppose que \( d \) est un entier >=2 (si c'est 0 ou 1, on connaît déjà le résultat). Si on développe ce truc, on espère que les termes constants se simplifieront afin de pouvoir tout factoriser par h, lequel se simplifiera avec celui de 1/h. C'est le cas, mais ce n'est pas évident à prouver.
\( = -4a^3 -6a^2h - 4ah^3 - h^3 \) qui tend vers \( -4a^3 \).
Dans ces trois cas on peut trouver la dérivée. Mais comment faire le cas général ? Je ne pense pas qu'on ait, en première, les outils pour. (Ah mais tu as l'air de connaître la formule du binôme !)
et on voit que c'est évident : si \( u \) est dérivable, la fraction de droite tend vers \( u'(x) \) (par définition de la dérivée de \( u(x) \)), donc toute l'expression tend vers \( a\, u'(x) \).
Curieusement, tu as le courage de t'embarquer dans de gros calculs (et c'est bien d'oser !), mais pas de faire cette petite démonstration simpliste. Un peu comme un alpiniste qui viendrait de s'attaquer à l'Annapurna mais qui n'oserait pas grimper à l'escabeau pour remplacer une ampoule...
(Je n'ai pas compris le but des calculs 1 et 2. Tu y supposes établies les formules de dérivation que tu cherchais à démontrer. Pour quoi faire ? Quand tu calcules quelque chose, mets une phrase d'introduction.)
En fait, le u m'a perturbé et je ne savais pas trop à quoi il correspondait, je n'avais pas compris que c'était une fonction.
En fait, j'ai calculé les dérivées pour f(x) = b, f(x) = bx, f(x) = bx^c etc.., parce que dans mon manuel j'ai vu le tableau des dérivées usuelles et je me demandait comment on passait de f(x) = x^n à f'(x) = nx^n-1.
Je met donc le sujet en résolu, et encore merci pour ton aide.
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