Salut à vous
Je n'arrive pas à bien comprendre pourquoi, par exemple, la dérivée de <math>\(\sin\)</math> est <math>\(\cos\)</math> !
Comment on a pu savoir que le coefficient directeur de la tangente à la courbe <math>\(y = \sin(x)\)</math> en un point d'abscisse <math>\(x\)</math> est <math>\(\cos(x)\)</math> ?
Étant donné que la définition de la dérivée ne mène à rien :

<math>\(\lim_{x \to a} \frac{\sin(x) - \sin(a)}{x - a}\)</math>

Merci d'avance

Bonjour,

Une petite recherche t'aurait mener à ce site : http://homeomath.imingo.net/deri5.htm

C'est bizarre, j'ai essayé de chercher (un peu ) mais je n'ai pas trouvé grand chose !

Mais, en fait, dans sa démonstration il a utilisé :

<math>\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)</math>

Ceci n'est-il pas, déjà, le résultat de la dérivée ?

<math>\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = (\sin(x))'(0) = \cos(0) = 1\)</math>

Tu peux le prouver par la propriété de l'étau. Regarde par là http://planetmath.org/encyclopedia/Lim [...] roaches0.html

Citation : HighTam

Ceci n'est-il pas, déjà, le résultat de la dérivée ?

Absolument, c'est de l'arnaque (même si on va te démontrer cette limite via l'encadrement très peu rigoureux <math>\(\sin x\leq x\)</math> (*)). Pour avoir des résultats rigoureux il faut définir les fonctions trigo à l'aide de séries entières.


__
(*) Tiens, la propriété de l'étau signalée par Typen ...

Merci pour vos réponses, je commence à comprendre un peu

Citation : candide

Pour avoir des résultats rigoureux il faut définir les fonctions trigo à l'aide de séries entières.

Je pense que je ne connais pas encore les séries entières

Citation : candide

l'encadrement très peu rigoureux

Pourquoi peu rigoureux ?

Citation : HighTam

Citation : candide

l'encadrement très peu rigoureux

Pourquoi peu rigoureux ?

Parce que la notion d'angle ou même de longueur de courbe n'a pas été définie rigoureusement. Donc, on va admettre des choses du genre une corde a une longueur inférieure à l'arc qu'elle sous-tend. Je ne suis pas contre (en plus, s'il faut atendre que tout soit définit rigoureusement, on en finit pas), le tout est d'en avoir conscience

Merci bien

Dans la dem proposée par Typen, le mec admet que la fonction cos est continue, c'est cheaté.

Cependant, dans mes souvenirs, on peut montrer en utilisant <math>\(sin x \leq x\)</math> et des propriétés du style formules de duplication que c'est le cas. Reste à voir si on admet lesdites propriétés.

Citation : krosian

Dans la dem proposée par Typen, le mec admet que la fonction cos est continue, c'est cheaté.

Cependant, dans mes souvenirs, on peut montrer en utilisant <math>\(sin x \leq x\)</math> et des propriétés du style formules de duplication que c'est le cas. Reste à voir si on admet lesdites propriétés.

Et c'est si difficile de prouver que sin(x) est continue ?

Si tu la définis comme la somme d'une série entière, non. Mais si tu tentes de la définir géométriquement, oui.

On peut faire comme ceci, avec les formules d'Euler :

<math>\(cos(x)=Re(e^{ix})\)</math>
<math>\(sin(x)=Im(e^{ix})\)</math>
<math>\(\frac{\mathrm{d} ( sin(x) ))}{\mathrm{d} x}=Im(\frac{\mathrm{d}( e^{ix})}{\mathrm{d} x})=Im(i*e^{ix})=Im(i*(cos(x)+i*sin(x)))=Im(i*cos(x)+i^{2}*sin(x))=cos(x)\)</math>

De plus on peut faire le même raisonnement avec cos(x).

Tout à fait, mais tu utilises (implicitement) la définition de cos et sin par des séries entières.

Ah, mais je n'ai pas dit le contraire

J'ai juste posté cette démonstration car je la trouve simple et belle !

je ne vois pas le problème de la définition géométrique. Il suffit de prouver que ta longueur va changer d'au plus <math>\(\delta\)</math> quand l'angle bouge d'au plus <math>\(\varepsilon\)</math>. Ca ne devrait pas être très compliqué (mais j'ai la flemme de le faire...)

Citation : Caduchon

je ne vois pas le problème de la définition géométrique. Il suffit de prouver que ta longueur va changer d'au plus <math>\(\delta\)</math> quand l'angle bouge d'au plus <math>\(\varepsilon\)</math>. Ca ne devrait pas être très compliqué (mais j'ai la flemme de le faire...)

Et comment définis-tu une longueur d'arc ? et une mesure d'angle ?

Tu peux le faire à coup d'intégrales, mais ça devient capillotracté.

Ça me dépasse un peu ces notions là !

La démonstration de maxima me plait vraiment mais je ne comprend pas ce passage :

<math>\(\sin(x) = Im(e^{ix})\)</math>

<math>\(\frac{\mathrm{d} ( \sin(x) ))}{\mathrm{d} x}= Im(\frac{\mathrm{d}( e^{ix})}{\mathrm{d} x})\)</math>

Citation : HighTam

Ça me dépasse un peu ces notions là !

La démonstration de maxima me plait vraiment mais je ne comprend pas ce passage :

<math>\(\sin(x) = Im(e^{ix})\)</math>

<math>\(\frac{\mathrm{d} ( \sin(x) ))}{\mathrm{d} x}= Im(\frac{\mathrm{d}( e^{ix})}{\mathrm{d} x})\)</math>

<math>\(e^{ix} = cos(x) + isin(x)\)</math> Donc <math>\(Im(e^{ix}) = sin(x)\)</math>.

Tu as mal compris !
Exactement ce passage :

<math>\(\frac{\mathrm{d} ( \sin(x) ))}{\mathrm{d} x}= Im(\frac{\mathrm{d}( e^{ix})}{\mathrm{d} x})\)</math>

L'opérateur partie imaginaire et l'opérateur de dérivation, dans le cas de fonctions à variables réelles, commutent. En effet, par définition, si <math>\(z(x) = f(x)+ig(x)\)</math> où f et g sont à variable réelle et valeur réelle, <math>\(z'(x) = f'(x)+ig'(x)\)</math>

Merci, je comprends mieux maintenant

Citation : candide

Citation : Caduchon

je ne vois pas le problème de la définition géométrique. Il suffit de prouver que ta longueur va changer d'au plus <math>\(\delta\)</math> quand l'angle bouge d'au plus <math>\(\varepsilon\)</math>. Ca ne devrait pas être très compliqué (mais j'ai la flemme de le faire...)

Et comment définis-tu une longueur d'arc ? et une mesure d'angle ?

Nul besoin de définir la longueur d'arc si elle peut être bornée inférieurement (par la longueur de corde).

La mesure d'un angle est bien antérieure à la définition du sinus... Je ne vois pas ce que ça vient faire là
Ou alors trouve moi une façon de définir le sinus sans définir l'amplitude d'un angle...

Bah, la "vraie" définition de sinus ne fait pas appel à l'amplitude de l'angle (<math>\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac {x^5}{120} + \dots\)</math>). Et ça donne directement la dérivée (*) : <math>\(\sin'(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots\)</math> qui est justement la définition du cosinus (c'est bien fait, non ?)

(*) Je passe sur les justifications de dérivation sous la somme qui ne sont pas du niveau terminale...

Citation : krosian

Bah, la "vraie" définition de sinus ne fait pas appel à l'amplitude de l'angle (<math>\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac {x^5}{120} + \dots\)</math>). Et ça donne directement la dérivée (*) : <math>\(\sin'(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots\)</math> qui est justement la définition du cosinus (c'est bien fait, non ?)

Il y a plusieurs définition du sinus, pas une unique, c'est pas tant la dérivation sous la somme que tu as besoin de justifier, mais plûtot l'ouvert de convergence de la série entière, la suite tombe tout seul ensuite.

C'est loin d'être la première définition du sinus !

Et si tu prends ça comme définition, je te souhaite bon amusement pour montrer que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport opposé sur hypoténuse...

Citation : Freedom

Il y a plusieurs définition du sinus, pas une unique, c'est pas tant la dérivation sous la somme que tu as besoin de justifier, mais plûtot l'ouvert de convergence de la série entière, la suite tombe tout seul ensuite.

Je suis tout à fait d'accord, d'où les guillemets autour du mot vraie.

Edit : je viens de faire un petit tour sur Wikipedia où il est dit que le développement en série entière de sinus a été découvert en ~1400 par Madhava !

Citation : Caduchon

hypothénuse...

hypoténuse