Bonjour amis matheux

Je n'arrive pas à trouver mon erreur dans l'exercice suivant. Je passe volontairement l'aspect rédactionnel (initialisation, phrases qui vont bien pour l'hérédité) afin de me concentrer sur ce qui me pose problème.

Il s'agit de démontrer par récurrence que \(f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^(n+1)}\).

Hors : \(f^{(n+1)}(x)=(f^{(n)})'(x)\)

Très classiquement je dérive \(f^{(n)}(x)\)

\begin{align*}
f^{(n+1)}(x) &= (f^{(n)})'(x) \\
&=\Bigr(\frac{n!}{(1-x)^(n+1)}\Bigr)' \\
&=\frac{-n!\times(-1)(n+1)(1-x)^n}{(1-x)^{2(n+1)}}\\
&=\frac{(n+1)!(1-x)^n}{(1-x)^{2(n+1)}}\\
&=(n+1)!(1-x)^n(1-x)^{-2n-2}\\
&=(n+1)!(1-x)^(-n-2)\\
&=\frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}\\
\end{align*}

J'arrive donc au résultat escompté.

Par contre, lorsque j'utilise la formule \(f^{(n)})'(x)&=n(f'(x))f^{(n-1)}(x)\), je n'arrive pas au même résultat.

\begin{align*}
f^{(n+1)}(x) & = (f^{(n)})'(x) \\
&= n(f'(x))f^{(n-1)}(x) \\
&= n(\frac{1}{(1-x)^2})\frac{(n-1)!}{(1-x)^n} \\
&= \frac{n!}{(1-x)^{n+2}} \\
\end{align*}

Quelle est mon erreur svp ? Me trompé-je sur cette formule ? Ce doit être évident, mais je n'arrive pas à mettre le doigt sur mon erreur.

Par avance merci.

EdenMazan a écrit:

Par contre, lorsque j'utilise la formule \(f^{(n)})'(x)&=n(f'(x))f^{(n-1)}(x)\), je n'arrive pas au même résultat.

[...] Ce doit être évident, mais je n'arrive pas à mettre le doigt sur mon erreur.

Bonjour ! Eh oui, l'erreur est évidente. Quand je vais te l'indiquer, tu vas t'en vouloir ! Elle est tellement évidente que, en fin de compte, je ne vais pas te l'indiquer.

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Bon, OK, je l'indique. Tu as confondu \( f^{(n)} \) et \( f^n \). La deuxième formule permet de calculer, non pas la dérivée n-ème, mais la dérivée de la puissance n.

Si tu es familier avec la notation des physiciens :

\( f^{(n)}(x) = \dfrac{d}{dx} \; \dfrac{d}{dx} \; \cdots \; \dfrac{d}{dx} f(x) \)

\( (f^n)'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(f(x) \times f(x) \times \cdots \times f(x)\right) \)

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Edité par robun 22 mars 2020 à 11:35:04

Oh noooonnn ! Quelle nouille. C'est tellement loin tout ça

Merci bien robun.