Nuance, c'est vrai avec les ...
2=1.999... avec une infinité de 9 comme écrit à la première ligne

Oui bah il a juste oublié deux points quoi

Citation : Tadzoa

Il n'y a pas d'erreur, c'est vrai.

je confirme.

l'écriture en décimale d'un nombre réel n'est pas unique ... joli résultat que je n'ai jamais tenté de démontrer (j'pense que ça vaut pas pour tous les nombres, faut qu'il soit rationnel ou un truc du genre mais j'sais plus )

en fait nan ma solution est réellement fausse car je n'ai pas le droit de faire d'opération sur des nombres infinies comme ca.

On a le droit par contre de faire des sommes infinies convergentes.
Voici donc une solution vrai cette fois ci qui permet de démontrer que 1.99999... = 2
if suffit de faire une suite :
Un = 1 + 9/10 + 9/10² + 9/10^3 ......... 9/10^n
et d'en calculer la limite

C'est uniquement vrai pour les nombres "décimaux" (les nombres avec un nombre fini de chiffres après la virgule). La preuve est triviale : si t'as un nombre fini de chiffre après la virgule, tu peux toujours remplacer la dernière décimale non nulle d par d-1 et compléter par des "9" après.

Pour les nombres non-décimaux (par exemple 1/3) n'ademette qu'une seule écriture.

Une preuve plus courte : peut-on trouver un nombre entre 1.99... et 2 ? Non. Donc ces 2 nombres sont égaux.

@luckyboss1 : ta 1ere preuve est juste, mais tu n'as pas justifié pourquoi(effectivement, il faut passer par les séries géométriques pour justifier ces manipulations).

C'est vrai car la différence entre tes deux nombres est aussi petite que tu le veux

C'est d'ailleurs une technique de démonstration classique pour ce genre d'écriture

Euh je reprend celui du sujet:
<math>\((-1) = (-1)^2/2 = ((-1)^2)^1/2 = (1)^1/2 = 1\)</math>
donc <math>\(-1=1\)</math>

Depuis quand <math>\((-1)^2/2=-1 ?\)</math>
<math>\((-1)^2=1\)</math>
<math>\(1/2=0.5\)</math> ...
Euh, c'est moi qui ai mal lu ou ???

Citation : aelfwine54

C'est vrai car la différence entre tes deux nombres est aussi petite que tu le veux

Justement, je me demandais, comment tu le montres proprement ?

Tu poses la suite :

<math>\(u_0=0\)</math>
<math>\(u_1=0.9\)</math>
<math>\(u_2=0.99\)</math>

<math>\(u_n=u_{n-1}+9\times 10^{-n}\)</math>

<math>\(u_n = 9\times \sum_{k=1}^n{10^{-k}} = 1-10^{-n}\)</math>

Qui tend vers 1 mais est ce que ça prouve quoi que ce soit finalement ?

Citation : seb776

Euh je reprend celui du sujet:
<math>\((-1) = (-1)^2/2 = ((-1)^2)^1/2 = (1)^1/2 = 1\)</math>
donc <math>\(-1=1\)</math>

Depuis quand <math>\((-1)^2/2=-1 ?\)</math>
<math>\((-1)^2=1\)</math>
<math>\(1/2=0.5\)</math> ...
Euh, c'est moi qui ai mal lu ou ???

Faute de parenthèsage : <math>\((-1) = (-1)^{\frac{2}{2}}\)</math>

Ok merci de ta correction

Citation : Tadzoa

Citation : aelfwine54

C'est vrai car la différence entre tes deux nombres est aussi petite que tu le veux

Justement, je me demandais, comment tu le montres proprement ?

Tu poses la suite :

<math>\(u_0=0\)</math>
<math>\(u_1=0.9\)</math>
<math>\(u_2=0.99\)</math>

<math>\(u_n=u_{n-1}+9\times 10^{-n}\)</math>

<math>\(u_n = 9\times \sum_{k=1}^n{10^{-k}} = 1-10^{-n}\)</math>

Qui tend vers 1 mais est ce que ça prouve quoi que ce soit finalement ?

Que pour tout <math>\(\epsilon\)</math> de ton choix, il existe un <math>\(N\)</math>, tel que <math>\(\forall n>N, |1-u_n| < \epsilon\)</math>. La suite converge donc vers <math>\(1\)</math>. L'expression pour <math>\(N(\epsilon)\)</math> est ici très simple <math>\(N(\epsilon) = \lfloor \log_{10}(\epsilon) \rfloor\)</math>.

Cela veut dire que si tu as une précision infinie (<math>\(\epsilon = 0\)</math>) dans ta représentation (ce qui est suggéré par la notation 0.99....), alors il n'y a aucune différence entre <math>\(0.999.... = u_{N(0)}\)</math> et 1.

Bon, une nouvelle absurdité:

Je vous propose de résoudre l'équation suivante sans utiliser le discriminant: <math>\(x^2 + x + 1 = 0\)</math>
L'équation peut également s'écrire: <math>\(x^2+x = -1\)</math>
Comme <math>\(x = 0\)</math> n'est pas une solution de l'équation, nous pouvons la récrire: <math>\(x + 1 = -\frac{1}{x}\)</math>
Mais nous pouvons également déduire de l'équation initiale que <math>\(x + 1 = - x^2\)</math>
Ainsi, en vertu de ces deux dernières égalités, nous pouvons affirmer que <math>\(x^2 = \frac{1}{x}\)</math>, ou encore que <math>\(x^3 = 1\)</math>
Cela nous conduit à la solution <math>\(x=1\)</math>

Cependant, en remplaçant <math>\(x\)</math> par <math>\(1\)</math> dans la première équation, nous obtenons <math>\(3 = 0\)</math>

Où est l'erreur ?

Le problème est mal posé : tu ne dis pas dans quelle structure algébrique tu veux résoudre le problème.

Ceci dit, le problème a déjà été posé sur un autre topic.

l'erreur vient du fait que tu utilise deux fois la même équation, ce qui n'est pas possible

Citation : luckyboss1

l'erreur vient du fait que tu utilise deux fois la même équation, ce qui n'est pas possible

Tu t'exprimes mal, mais tu es sur la voie. Utiliser deux fois la même équation précédemment écrite fait du raisonnement un raisonnement par [...] et non par [...].

A toi de compléter les trous.

J'ai juste essayé d'expliquer pour que les lycéens comprennent.
Si tu veux une démonstration plus correcte , voici :

Tu as démontré que si x²+x=-1 alors 3=0.

C'est la base d'un raisonnement par l'absurde : on suppose qu'une proposition est vraie, on démontre que cela implique un proposition fausse, donc la proposition initiale est fausse...

Tu as donc démontré que x²+x=-1 n'avait pas de solution.
Ou plus globalement que x²+x+1=0 n'a pas de solution

EDIT : solution dans R évidement

C'est exact.
En fait tout le raisonnement est exact sauf la conclusion.

(NB: Il me semblait évident que c'était une solution dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>, mais j'aurais du le préciser)


Puisque vous êtes si coriaces, voilà le must que j'ai pu trouver en terme d'aberration mathématique. Même en connaissant l'astuce, je trouve cette preuve magnifique

Ah, c'est intéressant je ne connaissait pas celui la, mais je vois très bien le problème


Le raisonnement est entièrement juste, mais la figure n'est pas bonne.
La bissectrice et la médiatrice ne se coupent pas à l'intérieur du triangle mais à l'extérieur.
Dans ce cas, on ne peut pas faire ce raisonnement.
si mes souvenirs sont bons, l'intersection se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC

Pas mal du tout

Citation : luckyboss1

J'ai juste essayé d'expliquer pour que les lycéens comprennent.

Excuse-moi, j'avais pas vu que t'étais en post-bas, et un lycéen aurait pu dire ce que tu as dit intuitivement sans mettre le doigt sur ce qui clochait réellement.

Une autre façon de le dire est qu'il y a eu analyse sans synthèse. Mes [...] attendaient donc 'implication' et 'équivalence'.

Citation : luckyboss1

Ah, c'est intéressant je ne connaissait pas celui la, mais je vois très bien le problème


Le raisonnement est entièrement juste, mais la figure n'est pas bonne.
La bissectrice et la médiatrice ne se coupent pas à l'intérieur du triangle mais à l'extérieur.
Dans ce cas, on ne peut pas faire ce raisonnement.
si mes souvenirs sont bons, l'intersection se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC

Pas mal du tout

Ce n'est pas tout à fait ça le vrai argument. Mais en effet, la figure n'est pas bonne.

Qui te dit que <math>\(H \in [AB]\)</math> et que <math>\(K \in [AC]\)</math> ?
D'où la non-pertinence de la preuve...

En effet, <math>\(F\)</math> appartient au cercle circonscrit, c'est d'ailleurs une assez importante propriété.
Ca prouve aussi par extension que tous les triangles sont équilatéraux...
Joli !

Voilà c'est exactement ça. Le point H (ou le point K) se trouve sur la droite AB, mais pas sur le segment [AB] !
C'est donc la somme finale qui est erronée.

Citation : Tadzoa

Citation : aelfwine54

C'est vrai car la différence entre tes deux nombres est aussi petite que tu le veux

Qui tend vers 1 mais est ce que ça prouve quoi que ce soit finalement ?

C'est bien plus fort que ca. Par définition, le développement en base p de x appartenant à [0,1[ est l'unique suite(x(k)) (qui existe), à valeur dans [|0,p-1|] non stationnaire à la valeur p-1 tel que x = limite de la somme partielle associé à la série de terme général x(k)*p^(-k)

Le fait que la suite ne puisse être stationnaire à la valeur p-1, rend illégitime la notation 0.999... Pour être exact, lors de la démonstration, tu te rends compte que si elle peut être stationnaire à la valeur p-1 alors il n'y a pas unicité.

Si tu ne considèrew pas l'unicité du développement décimal, alors pourquoi pas. Je vais essayer de regarder comment écrire des formules mathématiques sur le forum pour donner les points principaux de la démonstration.

Propriété:
<math>\(\forall (x,p) \in [0,1[ \times \mathbb{N}^* , \exists ! (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \in [|0,p-1|]^{\mathbb{N}^*} / x = \sum_{k=1}^{+\infty} x_k \times p^{-k} \mbox{ et } (x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \mbox{ ne coverge pas vers } p-1\)</math>
Démonstration:
- Convergence de la série (pour justifier la notation utilisée) : Comparaison des séries à termes positifs avec une série géométrique de raison inférieur à 1
- Existence : On pose <math>\(x_1 = [x \times p] \mbox{ et } \forall n \in \mathbb{N}^* , x_{n+1} = [ ( x - \sum_{k=1}^n x_k \times p^{-k} ) \times p^{n+1} ]\)</math>
(ici la notation [] désigne la partie entière) On vérifie que la suite créée ainsi est bien à valeur dans [|0,p-1|] (par récurrence)
<math>\(\forall n \in \mathbb{N}^* , x_{n+1} = [x \times p^{n+1} - \sum_{k=1}^n x_k \times p^{n+1-k}] = [x \times p^{n+1}] - \sum_{k=1}^n x_k \times p^{n+1-k}\)</math>
<math>\(\forall n \in \mathbb{N}^* , x = ( [x \times p^{n+1} + x \times p^{n+1} - [x \times p^{n+1}] ) \times p^{-n-1} = \sum_{k=1}^{n+1} x_k \times p^{-k} + ( x \times p^{n+1} - [x \times p^{n+1}] ) \times p^{-n-1}\)</math>
On passe la somme à gauche, le terme de droite converge vers 0 (suite bornée multiplié par une suite qui converge vers 0), le terme de gauche converge par somme de suites convergentes, par uncité de la limite et définition de la convergence d'une série, on obtient <math>\(\sum_{k=1}^{+\infty} x_k \times p^{-k} = x\)</math>
Supposons que <math>\((x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \mbox{ coverge vers } p-1\)</math>, notons <math>\(n_0 = min\{n \in \mathbb(N)* / \forall k > n , x_k = p-1\}\)</math> (existe car toute partie de <math>\(\mathbb(N)\)</math> non vide admet un plus petit élément), il vient
<math>\(x = \sum_{k=1}^{n_0} x_k \times p^{-k} + \sum_{k=n_0+1}^{+\infty} (p-1) \times p^{-k} = \sum_{k=1}^{n_0} x_k \times p^{-k} + p^{-n_0}\)</math>
Et donc par définition de <math>\((x_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\)</math> (celle que l'on a posé), on obtient <math>\(x_{n_0+1} = p \notin{[|0,p-1|]}\)</math> on a une contradiction, qui nous apporte notre dernière condition et finalement l'existence d'une telle suite.
- Unicité : Supposons l'existence de deux suites vérifiant la propriété, noté <math>\((x_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \mbox{ et } (y_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\)</math>, notons <math>\(n_0 = min\{ k \in \mathbb{N}* / x_k \ineq y_k }\)</math> ((existe car toute partie de <math>\(\mathbb(N)\)</math> non vide admet un plus petit élément), il vient (par définition des suites et de <math>\(n_0\)</math>)
<math>\(x_{n_0} - y_{n_0} = \sum_{k=n_0+1}^{\infty} ( y_k - x_k ) \times p^{-k+n_0}\)</math>
<math>\(\forall k \in \mathbb{N}* , | x_k - y_k | < p\)</math> par majoration, somme d'une suite géométrique et croissance de la limite (la série est bien convergente), il vient :
<math>\(| \sum_{k=n_0+1}^{\infty} ( y_k - x_k ) | <= 1 \mbox{ puis } | x_{n_0} - y_{n_0} | <= 1 \mbox{ et enfin, comme } x_{n_0} \neq y_{n_0} \mbox{ (quitte a inverser les roles des suites) } y_{n_0} = x_{n_0} + 1\)</math>
Comme <math>\(\sum_{k=n_0+1}^{\infty} ( x_k - y_k ) \times p^{-k+n_0} = 1 = \sum_{k=n_0+1}^{\infty} (p-1) \times p^{n_0-k}\)</math> il vient <math>\(\sum_{k=n_0+1}^{\infty} ( x_k - y_k -(p-1) ) \times p^{-k+n_0} = 0\)</math> C'est une série à termes négatif, donc on a finalement <math>\(\forall k > n_0 , x_k = y_k + (p-1)\)</math> Ce qui n'est (*) pas car les suites ne sont pas stationnaire à la valeur p-1.

(*) On remarque au passage, que si l'on ne suppose pas que les suites sont stationnaire, on n'obtient pas l'unicité, mais on obtient qu'une seconde écriture est possible si et seulement si la première est stationnaire à la valeur p-1 ou 0, et dans ce cas la second écriture est la même que la première en changent le dernier nombre avant que la suite soit stationaire (en ajoutant 1 ou retirant 1) (NB: Ce point n'est pas totalement démontré, on a fait l'analyse, il reste à effectuer la synthèse, c'est à dire la convergence des deux séries dans ce cas vers la valeur x, ce qui doit être vraie).

NB2: La démonstration est effectué sur les réels positifs inférieurs strictement à 1, dans les autres cas il faut légèrement adapté.
NB3: Cette suite s'appelle le développement en base p de x (sans définition, la notation 0.99.. n'a pas de sens)
NB4: On remarque que ceci est valable pour toutes base, donc en base décimal 0.199.. = 0.2, en base 4 0.233... = 0.3, ect (dans le cas où l'on ne suppose pas l'unicité, ie que l'on impose pas la condition de non stationnaire à la valeur p-1).

Pour le raisonnement de Caduchon, effectuer la fin du raisonnement de manière vectoriel (dans <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>), on obtient une conclusion juste :
<math>\(AH + HB = AK + KC \Leftrightarrow ||\vec{AH}|| + ||\vec{HB}|| = ||\vec{AK}|| + ||\vec{KC}|| \Leftrightarrow ||\vec{AB}|| = ||\vec{AC}||\)</math>
La dernière équivalence est vraie si et seulement si <math>\(\mbox{ \{ } \vec{AH} \mbox{ et } \vec{HB} \mbox{ sont positivement lies \} et \{ } \vec{AK} \mbox{ et } \vec{KC} \mbox{ sont positivement lies \} (cas d'egalite de l'inegatlite de Minkovski) } \Leftrightarrow H \in [AB] \mbox{ et } K \in [AC]\)</math>
D'ou la conclusion : <math>\(\mbox{ABC isocele en A } \Leftrightarrow H \in [AB] \mbox{ et } K \in [AC]\)</math>

@Nanoc: Merci pour le tuto sur la balise math

Oui en effet il n'ya pas d'erreur.
1 est bien égal à 0.9999....
2 est bien égal à 1.9999...
...

Et oui!

En faite le premier des exercices 1=2, c'est la preuve de l'impossibilité de la division par zéro. Raisonnement par absurde.

erreur desolé :/

Citation : Hayabusa

Citation : Tadzoa

Il n'y a pas d'erreur, c'est vrai.

je confirme.

l'écriture en décimale d'un nombre réel n'est pas unique ... joli résultat que je n'ai jamais tenté de démontrer (j'pense que ça vaut pas pour tous les nombres, faut qu'il soit rationnel ou un truc du genre mais j'sais plus )

Elle est unique.

Citation : Neoterranos

Elle est unique.

Oui, mais si tu l'as prend unique, alors l'écriture 0.99.. n'a pas de sens, et donc ca n'a pas plus de sens d'écrire 1 = 0.99.. Sauf si tu dis que 0.99.. est la limite de la somme partielle associé à la série des 9*10^(-k), mais dans ce cas là, ca n'a pas vraiment d'interet, ca revient à introduire une notation de manière à montrer ce qu'on veut. (pas très logique comme procédé)

Mais si tu définis l'écriture décimal (ou en base b), d'un nombre sans imposer la condition de non-stationnarité à la valeur 9 (n-1), alors il n'y a plus unicité. Par contre, c'est déjà moins utile, on perd l'unicité qui est quand même une propriété forte ...

C'est bien unique.
C'est juste que les gens ont du mal à comprendre que 0.9999999... et 1, c'est la même chose.