On dispose de 100 lampes numérotées de 1 à 100,dotées d'interrupteurs. Au début, elles sont toutes éteintes.

•A la 1ere étape, on agit sur tous les interrupteurs allumant ainsi toutes les lampes.

•A la 2e étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 2,éteignant ainsi une partie des lampes.

•A la 3e étape, on n'agit que sur les interrupteurs dont le numéro est un multiple de 3 ,etc.

Après la 100e étape quelles seront les lampes allumées ?

Piste: déterminer 'état final des lampes nº 2,12,25,68,81.

Émettre une conjecture sur les lampes qui restent allumées à la 100e étape  puis la démontrer.

dans la sucession des entiers de 1 à 100, chaque diviseur du n° de lampe change son état. L'état de départ étant allumé, si le nombre de diviseur est pair, la lampe sera éteinte et elle reste allumée si le nombre de diviseurs est impair. ( 1 et le nombre lui-même sont comptés comme diviseur.

Ainsi pour 2, diviseurs 1,2 lampe éteinte ( 2 éteint la moitié des lampes)

12 diviseurs 1, 2,3,4,6,12 lampe éteinte

25 diviseurs 1,5,25 impair lampe allumée

68 diviseurs 1,2,4,17 pair lampe éteinte

81 diviseurs 1,9, 81 impair lampe allumée 

On constate que le  nombre associé à la lampe allumée est un carré parfait. 

On peut vérifier sur d'autres exemples

64 7 diviseurs entre 1 et 100: 1,2,4,8,16,32,64 impair lampe allumée

100 9 diviseurs 1,2,4,5,10,20,25,50,100 impair lampe allumée

donc conjecture: les lampes allumées ont un numéro repère  qui est un carré parfait car un carré a une propriété qui peut surprendre à première vue.Il a nécessairement un nombre de diviseurs impairs. 

Pour le montrer, il faut considérer la décomposition de \(n\) en facteurs premiers   \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}.....p_k^{a_k}\).

Il y a une formule classique qui donne le nombre de diviseurs d'un  nombre sous cette forme décomposée: \(d=(a_1+1)(a_2+1)....(a_k+1)\). Je me dispense de la redémontrer ici ! 

On a bien sûr \(n^2=p_1^{2a_1}p_2^{2a_2}p_3^{2a_3}.....p_k^{2a_k}\). Le nombre de diviseurs de \(n^2\) est donc \(d=(2a_1+1)(2a_2+1)....(2a_k+1)\) qui est un produit de nombres impairs donc c'est un nombre impair.

Inversement si \(n\) n'est pas un carré  parfait, on a toujours \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}.....p_k^{a_k}\) avec un des exposants  nécessairement impair sinon \(n\) serait un carré donc si \(a_i\) est impair , \(a_i+1\) est pair, donc le produit \(d\) contient un nombre pair et donc \(d\) est pair

Les lampes restant allumées seront donc 4,16, 25,36,49, 64, 81, 100 

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Edité par Sennacherib 12 septembre 2019 à 0:42:08

J'ai vu l'exercice hier soir, j'ai eu la flemme de faire les calculs pour les 5 ou 6 nombres proposés ... Puis maintenant, je vois la réponse de Senna.

Et je m'en veux ! 

Après coup, c'est évident : un carré a un nombre de diviseurs impairs, et en plus, si un nombre a un nombre de diviseurs impairs, c'est un carré.

Très bel exercice.