Bonjour,

Je viens vous voir car je tante de comprendre concraitement la différence entre un signal Déterministe, aléatoire, stationnaire ou encore non stationnaire. Je vais tanter de poser plusieurs questions en expliquant ce que j'ai compris.

Deux grandes familles de signaux : Déterminite et Aléatoire.

• Determinite :

Ce sont les signaux que l'on peut "prédire". Ceux dont on peut "prevoir" la suite. Un Sinus, un créneau... Et ma première question arrive. Le sinus et le créneau sont facilement identifiable, mais pour des signaux plus complexes, comment peut on savoir qu'ils sont Deterministe ?

Je donnerais l'exemple suivant : on place un capteur sur le buste d'une personne dans le bute de mesurer l'inclinaison (de son buste) par rapport à la vertical Pendant 24H. le signal va donc fortement changer entre la nuit, la journée, l'activité sportive ou nons pratiqué... Ce signal est-il déterministe ? Pourquoi ?

En effet, j'ai lu que les signaux déterministes peuvent être prériodique ou non périodique, mais dans un cas non périodique on perd l'aspect "predictibilité" non ?

• Aléatoire :

Ce sont les signaux que l'on ne peut pas prédire, ce dont on ne peux qu'estimer la suite à l'aide de probaliter. Un bruit blanc par exemple. Mais pourquoi d'autre signaux non périodique ne sont pas nécésserement Aléatoire alors même qu'on ne peut appriorie par connaitre directement la suite ?
Je reprend l'exemple du capteur sur le buste d'une personne, pourquoi ne pourrais-je pas utiliser les probabilités pour connaitre la suite? ce signal serait alors Aléatoire ? je n'y crois pas et je n'arrive pas a faire de différence.

Je donne des exemples de signaux pour essayer de comprendre. Les exemples sont tirés par les cheveux mais ca change rien :

- On place un acceleromètre sur la paupière d'une personne pour mesurer le nombre de batement de paupière par jour. Cette acceleromètre va donc mesurer les batements de paupiere mais aussi les mouvements de tête est du corps de la personne.  signal Deterministe non periodoque ??? que dire du fait que le batement de paupière peut arriver a des intervalles RELATIVEMENT régulier

- On mesure l'activité musculaire des pectoraux avec un ElectroMyoGrame (EMG). Ceci permet de mesurer les différentes phases de contraction du muscle en mesurant l'activité electique. Mais on mesure aussi l'activité electrique du coeur, qui elle est périodique. On à donc deux signaux mélangé en un. Déterministe ?? mélange de périodique et non périodique ?

Pour finir je parlerais des signaux stationnaires et non stationnaire. Dans qu'elle famille (deterministe ou aleatoire) sont-il ?
On dit qu'un signal et stationnaire s'il peut etre décomposé en somme de sinus (series/transformé de fourié). Mais dans la théorie, un sinus dure de de -l'infinie à +'linfinie. Ou à minima dure le temps de la fenêtre de capture. Mais dans ce cas que dire de l'exemple suivant ?

un signal contient, de 0 à 30 secondes, des féquence comprise entre 0 et 500 Hz. MAIS, entre 10 et 20 secondes il y a, en plus des 0 à 500 Hz, des fréquences comprises entre 1000 Hz et 2000 Hz.
En d'autre terme, les fréquence supérieur à 1000Hz ne dure pas tout le long de la fenêtre de mesure.
Ou bien un deuxième exemple encore plus parlant. Toute les secondes de 0 à 20 second j'augmente la fréquence d'un GBF de 100 à 120 Hz, chaque seconde le signal contient un seul fréquence et, visuellement, se contracte à mesure que le temps augmente. Là encore les sinus compris dans ce signal ce dure par tout le long du signal.
Que penser de ces signaux ? Deterministes ? Admet-ils une transformé de fourier ? et si oui que deviennent les fréquences qui ne dure pas tout le long de la fenêtre de mesure ??

Voilà ce sera tout pour le moment. Je sais c'est long mais si vous prenez le peine de répondre j'espere avoir un réponse à chacune de mes questions. Je cherche sur internet depuis quelque heures et je trouve de tout, parfois des choses qui se contredisent. J'ai donc besoin d'y voir clair.

Merci d'avance

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Edité par adrien050356 8 septembre 2017 à 23:48:18

Salut,

Dans l'ordre :

> mais pour des signaux plus complexes, comment peut on savoir qu'ils sont Deterministe ?

De façon générale, à partir de relevés expérimentaux, tu ne peux jamais savoir si le signal que tu observes est déterministe ou non. Supposons par exemple que tu observes un signal qui ressemble parfaitement à une sinusoïde, pendant 30 secondes. Tu ne peux pas savoir si c'est bien une sinusoïde ou si c'est un signal qui est une sinusoïde 99.99% du temps, le reste étant aléatoire.

Donc en général, ce qu'on fait, c'est qu'on observe un signal, et si on arrive à trouver un modèle déterministe qui l'approche aussi bien que possible, c'est tant mieux. Parce que l'aléa, c'est bien gentil, mais pour faire des prédictions c'est pas optimal.

> on place un capteur sur le buste d'une personne dans le bute de mesurer l'inclinaison (de son buste) par rapport à la vertical Pendant 24H. le signal va donc fortement changer entre la nuit, la journée, l'activité sportive ou nons pratiqué... Ce signal est-il déterministe ? Pourquoi ?

Stricto sensu, non, il ne sera pas déterministe. Parce que ton sujet, à tout moment, peut décider de se pencher ou de se redresser : c'est son libre arbitre. Comme il est communément admis que le libre arbitre est non-déterministe (sinon ça veut dire que nous sommes incapables de prendre la moindre décision par nous-même, et que tout est prédit à l'avance), alors ça veut dire que ton signal sera non-déterministe dans le cas général.

Maintenant, tu remarqueras que ton signal sera relativement périodique sur 24 heures : ton sujet se couche toujours à la même heure, se lève toujours à la même heure, fait du sport à la même heure... Donc tu pourras modéliser ton signal par un signal déterministe, qui ne sera pas très précis, mais c'est toujours mieux que rien.

> En effet, j'ai lu que les signaux déterministes peuvent être prériodique ou non périodique, mais dans un cas non périodique on perd l'aspect "predictibilité" non ?

Non, certainement pas. Regarde par exemple le signal \(f(t) = e^{-t}\). Le signal est non-périodique, et pourtant il est 100% déterministe.

> Mais pourquoi d'autre signaux non périodique ne sont pas nécessairement Aléatoire alors même qu'on ne peut appriorie par connaitre directement la suite ?

c.f. la question précédente.

> Je reprend l'exemple du capteur sur le buste d'une personne, pourquoi ne pourrais-je pas utiliser les probabilités pour connaitre la suite? ce signal serait alors Aléatoire ? je n'y crois pas et je n'arrive pas a faire de différence.

Si on prend l'hypothèse que le libre arbitre est non-déterministe, alors le signal est bien aléatoire. Cela dit, utiliser un modèle probabiliste ne te permet pas de prévoir complètement l'évolution du système : un tel modèle ne peut que te dire ce qui est probable d'arriver. Si le modèle probabiliste te donne une probabilité de 100% de ce qui va arriver, par définition c'est un modèle déterministe.

> - On place un acceleromètre sur la paupière d'une personne pour mesurer le nombre de batement de paupière par jour. Cette acceleromètre va donc mesurer les batements de paupiere mais aussi les mouvements de tête est du corps de la personne. signal Deterministe non periodoque ??? que dire du fait que le batement de paupière peut arriver a des intervalles RELATIVEMENT régulier

Encore le problème du libre arbitre, qui nous dit alors que le signal de l'accéléromètre est non-déterministe. Cela dit, tu pourras modéliser ça par un modèle déterministe avec une précision pas trop mauvaise (en général une personne cligne des yeux à une fréquence relativement constante, comme tu le dis). Mais ce modèle ne sera pas parfait.

Pareil pour l'exemple des muscles.

> Pour finir je parlerais des signaux stationnaires et non stationnaire. Dans qu'elle famille (deterministe ou aleatoire) sont-il ?

On dit qu’un signal aléatoire est stationnaire si ses propriétés statistiques sont invariantes par translation dans le temps. Donc un signal stationnaire peut tout à fait être aléatoire, de même qu'un signal non stationnaire.

> On dit qu'un signal et stationnaire s'il peut etre décomposé en somme de sinus

Mmmmh, tu est sûr de ne pas confondre avec les signaux périodiques ?

Je te remercie pour cette réponse très complette.

Donc pour résumer, est si je comprends bien :
Un signal est considéré deterministe, au sens stricte du terme, si on peut connaitre à coup sur son évolution. En revanche, un signal issue d'un capteur par exemple, pourra être considéré déterministe s'il se rapproche d'un modèle qui lui est deterministe (ex : la courbe de charge d'un condensateur qui est suffisament logarithmique pour utiliser le modèle logarithmique ??), ou bien s'il présente une pseudo périodicité durant des période plus ou moins longue ?

Dans ce cas que dire des signaux qui ne présente pas du tout de périodicité ? Si je mesure l'evolution de la température sur une journée par exemple, sur cette seul journée la température aura peu de chance de présenter une périodicité. Pour autant j'ai du mal a penser que se signal serait considéré aléatoire.
Vue d'une autre manière, si mon signal sur une journée est, cette fois ci, un bruit blanc, là le signal est aléatoire alors qu'il n'y a pas de périodicité non plus.
Enfait, c'est la frontière entre Déterministe et Aléatoire que je ne suis pas sur de saisir.

Ensuite j'introduit les Séries de Fourier et la Tranformé de Fourier. Pour un signal périodique on comprends bien qu'en sommant des sinus on va retrouver le signal d'origine avec les Séries de Fourier. Pour un signal non périodique en revanche, la période est enfait considéré comme infinie et c'et alors la transformé de Fourier qui est utilisé. Mais j'ai un exemple qui me perturbe.
Je reprend l'exemple d'un accéléromètre sur le buste d'une personne. Se signal va, au cours du temps, contenir différentes fréquence. C'est-a-dire que le signal pourra contenir plus de fréquence varié lorsque la personne fait du sport  plutôt que lorsqu'elle mange tranquillement à table. On a ainsi une évolution du "contenue fréqentiel" du signal dans le temps. Et ce que je ne comprends pas c'est comment ce signal peut admettre une transformé de Fourier ? Puisque si on fait une transformé de Fourier inverse pour retrouver le signal d'origine, la somme de sinus s'apliquera sur tout le signal et pas seulement là où les fréquence sont presente "dans le temps" ?

> En revanche, un signal issue d'un capteur par exemple, pourra être considéré déterministe s'il se rapproche d'un modèle qui lui est deterministe

Selon moi, oui c'est ça. Tu as un signal, si tu arrives à l'approcher suffisamment près avec un modèle déterministe, tu peux dire que ton modèle du signal est déterministe. Personnellement, je n'irais pas m'aventurer à dire que le signal est déterministe, mais on peut tout à fait dire qu'on le considère comme tel. En sciences pratiques, on ne peut fonctionner qu'avec des modèles, ce qui compte n'est pas tant le déterminisme du signal que la précision du modèle.

> Dans ce cas que dire des signaux qui ne présente pas du tout de périodicité ?

Un signal non périodique peut tout à fait être déterministe, cf. l'exemple de l'exponentielle.

> Enfait, c'est la frontière entre Déterministe et Aléatoire que je ne suis pas sur de saisir.

D'un point de vue théorique, la différence est très simple : quand on considère un signal, on est obligé d'en donner la définition. Si cette définition fait intervenir de l'aléa, ou si on peut calculer à coup sûr chacune des valeurs de ce signal, on se retrouvera face à un signal aléatoire ou déterministe.
En revanche, en pratique, c'est très différent. Quand tu enregistres un signal, tu n'as qu'une information partielle sur ce signal (pour avoir l'information parfaite il faudrait l'enregistrer sur une durée infinie avec une précision absolue). Stricto sensu, il n'est donc jamais possible de savoir si un signal est déterministe ou aléatoire. Si on arrive à modéliser ce signal avec un modèle déterministe, alors on pourra considérer que le signal est déterministe, sinon on le considérera plus comme aléatoire. Par exemple, à première vue la température de demain peut sembler être une variable aléatoire. Pourtant, des modèles mathématiques peuvent prévoir avec une bonne précision la température dans 24 heures. Cependant, aucun modèle mathématique n'explique pourquoi il fait plus froid dans mes toilettes que dans ma chambre. Donc, suivant le degré de précision souhaité, tu peux ou pas t'appuyer sur des modèles déterministes.

D'ailleurs, c'est souvent ce qu'on fait quand on modélise des systèmes complexes : on sait qu'il y a plein d'interactions complexes (mais déterministes) qu'on ne pourra jamais modéliser, donc on préfère les modéliser par des perturbations aléatoires.

Tout ça pour dire qu'en pratique, il n'y a pas vraiment lieu de faire la différence entre système aléatoire et déterministe, vu qu'on ne peut pas être sûr à 100% d'observer un signal déterministe ou aléatoire.

En ce qui concerne ta question sur les transformées de Fourier, je dois dire que ces souvenirs sont assez loin derrière moi et je n'irai pas m'aventurer à dire des bêtises, mais simplement on sait que la transformée inverse de Fourier redonne exactement le signal de départ. Du coup, certes ton signal n'est pas périodique, mais c'est pris en compte par la transformée inverse qui saura reconstituer le signal d'origine.

Ok super, je te remercie pour tes réponses, je comprends mieux la distinction entre les deux

Pour la transformé de fourier, je vais poster un nouveau sujet