Hello, j'ai un exercice qui demande de faire un développement limité mais j'ai pas bien compris le cours je crois.

L'exercice est de calculer le développement limité d'ordre 4 en x = 0 de <math>\(\int_0^x \!(1+t)^t dt\)</math> et dans la correction ils font <math>\(f(x) = \int_0^x \! g(x)dx\)</math> avec <math>\(g(x)= e^{tln(1+t)}\)</math> puis on arrive à <math>\(ln(1+t) = t - \frac{1}{2}t^2 + o(t^2)\)</math>.

Je comprends pas bien la dèrnière égalité en fait, les deux premiers termes ça va mais moi j'aurais mis aussi un <math>\(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\)</math> à la fin aussi...

Si quelqu'un peut m'expliquer ça serait sympa
Merci

En fait, on te demande, à la fin, d'arriver à un DL d'ordre 4. Là, dans la correction, ils développent le logarithme à l'ordre 2 parce que c'est suffisant : le logarithme est multiplié par <math>\(t\)</math>, ce qui rajoute 1 à l'ordre du DL.
Puis tu développes l'exponentielle, ce qui ne modifie pas l'ordre.
Enfin, tu intègres, ce qui ajoute également 1 à l'ordre du DL, on arrive bien à 4.

Cependant, ce genre de prévisions, ça ne vient qu'avec l'habitude, donc dans le doute, tu peux toujours mettre des termes en plus, puis tronquer à la fin.
En ajoutant les termes en <math>\(x^3\)</math> et <math>\(x^4\)</math>, tu aurais obtenu à la fin de l'ordre 6, que tu n'aurais plus eu qu'à tronquer pour retomber sur ce qui était demandé.

Ah d'accord, merci.

EDIT: Ah mais non, j'ai marqué résolu un oeu vite en fait, j'ai encore deux questions !
Déjà, dans le corrigé ils ont au début un <math>\(o(t^2)\)</math>, c'est prévu pour obtenir un <math>\(o(t^4)\)</math> à la fin ?

Et au moment de remplacer y'a <math>\(g(t) = 1 + [t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)] + \frac{1}{2}[t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)]^2 + o[(t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3))^2] = 1 + t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)\)</math>

En passant à la dernière étape, on tronque tout ce qui est degré supérieur à 3 pour arriver à un degré 4 en intégrant ?

Citation : Venk

EDIT: Ah mais non, j'ai marqué résolu un oeu vite en fait, j'ai encore deux questions !

J'ai pas compris précisément les deux questions que tu poses.

Citation : Venk

Déjà, dans le corrigé ils ont au début un <math>\(o(t^2)\)</math>, c'est prévu pour obtenir un <math>\(o(t^4)\)</math> à la fin ?

Certes mais comme expliqué ci-dessus, tu as la multiplication par t qui relève d'une unité l'ordre et l'intégration qui augmente aussi l'ordre d'une unité, ce qui donne 2+1+1=4 pour ordre final.

Citation : Venk

Et au moment de remplacer y'a <math>\(g(t) = 1 + [t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)] + \frac{1}{2}[t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)]^2 + o[(t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3))^2] = 1 + t^2 - \frac{1}{2}t^3 + o(t^3)\)</math>

En pratique, on ignore les petits o (sauf juste un o(t^3) final), on se contente de substituer une partie principale dans chaque terme de l'autre partie principale.

Citation : Venk

En passant à la dernière étape, on tronque tout ce qui est degré supérieur à 3

Oui, c'est un théorème du cours de composition de dl.

Citation : Venk

pour arriver à un degré 4 en intégrant ?

Oui.

Merci.
Mes deux questions étaient en fait de savoir si on partait avec o(t^2) pour arriver à o(t^4) ou si c'était parce que le premier développement était d'ordre 2, et la deuxième c'était juste de savoir si on tronquait tout ce qui est de degré trop élevé à la fin.