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Developpement série entière

    1 juin 2019 à 5:05:37

    Bonjour,

    J'ai essayé de faire un exercice yolo sur le DVS mais c'est un échec total, il m'est donné cette fonction :

    f(x) = exp(-x²) * [ intégrale ( exp(-t²) ) dt ] [entre 0 et x] 

    J'ai essayé de mettre dans un premier temps le terme située à l'intérieur en DVS, puis sachant que c'est une quantité finie en valeur absolue, on peut utiliser fubini et échanger la somme avec l'intégrale, mais une fois ce calcul fait, exp(-x²) me pose un problème : j'ai produit de somme, avec 2 indices différents, ce que je trouve bizarre... Merci pour l'aide si il y'a qui veulent s'y aventurer ! 

    Cordialement 

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      1 juin 2019 à 13:09:10

      Les produits de série entières sont normalement définies sans dificulté par produit de Cauchy, ça te donne juste un terme assez dégueulasse (avec une somme), peut-être simplifiable ici (mais j'avoue que j'ai pas fait les calculs :p )

      Donc rien d'anormal à priori :)

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      Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
        1 juin 2019 à 16:33:25

        Johnuntel1 a écrit:

        B Merci pour l'aide si il y'a qui veulent s'y aventurer ! 

        Cordialement 

        quel est précisément la question? trouver explicitement le terme générique du développement en série du produit. ( on te demande ça dans un exo? :( )

        Comme le fait remarquer gasasaa, c'est un terme "dégueulasse" dont je ne vois pas trop la simplification même si il me semble que on peut appliquer l'expression de la sommation type \(\sum a_ib_{n-i} \) en l' adaptant au produit de  deux séries de termes pairs. 

        En effet, si c'est cela ton problème d'indices, ... il suffit de mettre \(x\) en facteur pour avoir aussi une série paire pour la série de l'intégrale.  :p  



        -
        Edité par Sennacherib 1 juin 2019 à 16:34:57

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        tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
          2 juin 2019 à 22:04:01

          Ah oui super ! Mdrrr en effet, c'était un exercice d'oral type concours de je ne sais plus quelle année, j'avais complètement oublié le produit de cauchy, il rend l'expression légèrement plus appréciable, mais le résultat quand même un peu moche. Merci à vous !

          Je voudrais quand même être sûr du résultat ! Parce que, quand on applique le produit de cauchy, c'est le même indice qui est utilisé : an et bn qui donne cn = somme( ak * b(n-k) ), or ici j'ai le produit de deux produits avec des indices différents ? (j'ai l'impression de dire du bullshit car j'ai l'impression qu'il y'a une histoire d'indice muet) voici la photo : 

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          Edité par Johnuntel1 3 juin 2019 à 0:15:39

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            3 juin 2019 à 8:59:58

            j'ai l'impression que ton interrogation sur les indices est un problème de réindexation. 

            Avec deux indices ,le produit  de \(\sum a_i x^{i}\) par \(\sum b_j x^j\) développé "brutalement" s'écrit \(\sum_{i,j \in \mathbb{N}} a_i b_j x^{i+j}\)

            En faisant le changement d'indice \(p=i+j\), le produit va s'écrire  \(\sum_{p=0}^{+\infty} c_p x^{p}\) 

            avec \(c_p=\sum_{k=0}^{p}a_kb_{p-k}\) sommation sur un seul indice "muet"  \(k\)

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            Edité par Sennacherib 3 juin 2019 à 9:06:14

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            tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable

            Developpement série entière

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