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Diagonaliser une matrice de taille 4

Maths prepa

Sujet résolu
    18 mai 2020 à 18:47:28

    Bonjour à tous,

    Je suis bloqué sur un exercice de diagonalisation de matrice 4x4, je dois trouver ses vecteurs propres. J'ai commencé par mettre les -Lambda sur toute la colonne mais lorsque j'essaye des trouver des valeurs propres en faisant les opérations je n'arrive à rien :(

    Voici la matrice : A= 5.   0.   -2.    0

                                         0.    5.   0    -2

                                        -2.    0.    5.    0

                                        0.    -2.    0.    5

    Merci beaucoup par avance pour votre aide ^^

    Ps : ne faites pas attention aux points de la matrice je suis sur téléphone j'ai pas trouvé comment mettre une photo 

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      18 mai 2020 à 19:22:17

      Salut,

      Voici une manière intéressante de faire. A une matrice circulante. Notons J la matrice suivante.

      0 1 0 0
      0 0 1 0
      0 0 0 1
      1 0 0 0
      

      Tu as A = 5J^0 -2J^2 = P(J) avec P(X) = 5 - 2X^2. SI tu trouves les valeurs propres de J, tu as donc que les valeurs propres de J et celles de A sont liées grâce à P : si v est une valeur propre de J, alors P(v) est une valeur propre de A. Il ne te reste plus qu'à calculer les valeurs propres de J. Tu les connais peut-être (c'est une matrice assez classique), sinon tu peux regarder ce que vaut J^4, ça t'aidera à les trouver.

      EDIT : sinon, si tu veux faire le calcul directement il n'est pas très long en développant par exemple par rapport à la première colonne. Tu obtiens (X - 5) det B + 2 det C avec B et C deux matrices 3x3 et là encore tu peux développer intelligemment par rapport à une ligne et une colonne. Ça se factorise ensuite très bien.

      -
      Edité par yo@n97one 18 mai 2020 à 19:41:12

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        18 mai 2020 à 22:15:21

        Je viens de faire les calculs avec la méthode habituelle, je ne vois aucune difficulté. MomoAsmr : à mon avis tu as dû faire des erreurs de calcul.

        Indications :

        1) Je note P(λ) le polynôme caractéristique. Je développe le déterminant suivant la première colonne :

        P(λ) = (5-λ) A(λ) - 0×(on s'en fiche) - 2 B(λ) - 0×(on s'en fiche) où A(λ) et B(λ) sont des déterminants 3×3.

        2) Je développe A(λ) suivant la première colonne :

        A(λ) = (5-λ)³ - 4(5-λ) = (5-λ)² [5-λ-4]

        On peut factoriser plus que ça : A(λ) = (5-λ)(1-λ)(9-λ). Mais ce n'est pas indispensable pour la suite.

        3) Je développe B(λ) suivant la première ligne (ça s'impose !) :

        B(λ) = 2[(5-λ)² - 4] = 2(1-λ)(9-λ).

        4) Y'a plus qu'à assembler. Qu'on ait factorisé au maximum ou pas, il n'y a alors plus aucune difficulté.

        (Ah, pendant que je tapais mon message tu as trouvé avec la méthode de yo@an97one...)

        -
        Edité par robun 18 mai 2020 à 22:17:19

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        Diagonaliser une matrice de taille 4

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