Bonjour,

J'aimerais savoir qu'elle est la différence entre la différentielle d'une fonction et la dérivée.

J'ai cru comprendre que quand on travail sur une fonction de R dans R, la différentielle "correspond" à l'équation de la tangente?

Merci d'avance 

 Pour une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)  différentiable en \(x_0\),  on peut écrire \(f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0).h+\mathcal{o}(h )\) qui est une approche locale de la fonction par une fonction affine qui géométriquement est effectivement la tangente à la courbe en \(x_0\). Dan ce cas, la notion de différentielle se confond avec celle de dérivée ce qui peut introduire une certaine confusion sur la notion de différentielle. En particulier , il y a ici équivalence entre l'existence de la dérivée et celle de la différentielle ce qui n'est pas le cas général .

Pour une fonction de \(\mathbb{R}^p\) dans \(\mathbb{R}^q\) , si on peut écrire sous une forme similaire \(f(x_0+h)=f(x_0)+L.h+\mathcal{o}(h )\), il suffit de penser que les termes sont alors des vecteurs ( (\(f(x_0)\) vecteur de\(\mathbb{R}^q\),    \(h\) vecteur de \(\mathbb{R}^p\)) , et où  L est une application linéaire de \(\mathbb{R}^p\) dans \(\mathbb{R}^q\) , caractérisée  par sa matrice dite  jacobienne dont les coefficients sont les valeurs des dérivées partielles en \(x_0\).Par généralisation du cas monodimensionnel, on peut parler d'application linéaire  tangente. Si elle existe, elle est unique.

 Dés que la dimension de l'espace de départ est supérieure à 1, les propriétés  se compliquent.

des exemples non exhaustifs  sans entrer dans les justifications.:

• L'existence en un point des dérivées partielles ne garantie même pas la continuité, a fortiori donc l'existence de la différentielle.
• Par contre si la fonction est différentiable,elle est continue et  toutes les dérivées partielles existent
• On parlera de classe \(\mathcal{C}^1\) si toutes les dérivées partielles existent et sont continues. Classe \(\mathcal{C}^1\) implique différentiabilité . Condition suffisante ...mais qui n'est pas nécessaire. Il existe des fonctions non \(\mathcal{C}^1\)  différentiable.

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Edité par Sennacherib 3 septembre 2018 à 11:29:13