Bonjour le monde,

Je n'arrive pas à comprendre c'est quoi la différence entre une différentielle et une dérivée...
Quelqu'un peut m'expliquer ?

Merci.

Salut, je ne sais pas quel est ton niveau et si tu dais bien déjà ce qu'est une dérivée donc je vais essayer de bien définir les deux notions qui sont effectivement distinctes :

La dérivée

La dérivée est la limite du taux d'accroissement d'une fonction, soit <math>\(f\)</math> une fonction de la variable <math>\(x\)</math> on dit que <math>\(f\)</math> est dérivable en un point <math>\(x_{0}\)</math> de son ensemble de définition si <math>\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)</math> existe et est finie on nomme alors cette limite la dérivée de <math>\(f\)</math> en <math>\(x_{0}\)</math> et on la note
<math>\(f'(x_{0})=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_{0})\)</math>

La différentielle (EDIT :J'ai dit des c******** pardon)

On définit la différentielle d'une application(pas nécessairement d'une fonction, première différence avec la dérivée)
On dit donc qu'une application <math>\(f\)</math> est différentiable si il existe une application telle que pour tout vecteur <math>\(x\)</math> il existe une application <math>\(l\)</math>telle que pour tout h <math>\(f(x+h)=f(x)+l(h)+o_{h\rightarrow 0}(h)\)</math> On nomme <math>\(l\)</math> la différentielle de <math>\(f\)</math> en <math>\(x\)</math>

Lien

Dans le cas d'une fonction réelle d'une variable on a effectivement <math>\(h*f'(x)=l(h)\)</math>
En effet si on pose <math>\(x=x_{0}+h\)</math> la définition de la dérivée s'écrit <math>\(f'(x_{0})=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\)</math> ce qui équivaut bien à <math>\(f(x_{0}+h)=f(x_{0})+h*f'(x_{0})+o_{h\rightarrow 0}(h)\)</math>

La différentielle en un point <math>\(x\in\mathbb{R}^p\)</math> d'une application <math>\(f : \mathbb{R}^p\longrightarrow\mathbb{R}^q\)</math> est l'unique application linéaire <math>\(\Phi_x : \mathbb{R}^p\longrightarrow\mathbb{R}^q\)</math> telle que pour tout <math>\(h\in\mathbb{R}^p\)</math>, <math>\(f(x+h)=f(x)+\phi_x(h)+||h||.\epsilon(h)\)</math> où <math>\(\epsilon(h)\)</math> tend vers 0 lorsque <math>\(h\)</math> tend vers 0.

Première différence immédiate : la différentielle en un point <math>\(x\)</math> d'une fonction <math>\(f : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\)</math> est une fonction, tandis que sa dérivée en <math>\(x\)</math> est un nombre réel noté <math>\(f'(x)\)</math>.

Toutefois, dans ce cas (<math>\(p=q=1\)</math>), la différentielle <math>\(\phi_x\)</math> en un point <math>\(x\in\mathbb{R}\)</math> est, par définition, une application linéaire de <math>\(\mathbb{R}\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>. Ces applications, on les connaît bien : ce sont les fonctions <math>\(h\mapsto \alpha.h\)</math>, et elles sont déterminées de manière unique par le nombre <math>\(\alpha\)</math>. Il se trouve que <math>\(\phi_x\)</math> est l'application linéaire obtenue pour <math>\(\alpha=f'(x)\)</math>. En effet, on peut vérifier que <math>\(f(x+h)=f(x)+h.f'(x)+h.\epsilon(h)\)</math>.

Ainsi, en utilisation les notations standards, on a pour <math>\(f : \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\)</math> dérivable (ou différentiable, on peut montrer que c'est équivalent), et pour <math>\(x\in\mathbb{R}\)</math> fixé :

A donc bien garder en tête : <math>\(\mathrm{d}f(x)\)</math> est une application linéaire, <math>\(f'(x)\)</math> est son coefficient directeur (donc un nombre).
Là où les choses se compliquent, c'est que certains auteurs notent la différentielle <math>\(f'(x)\)</math>, ce qui fait que cette écriture peut désigner un nombre ou une fonction selon le contexte, et donc embrouiller un peu les choses quand on débute le cours.


Ensuite, quand on est à l'aise avec toutes ces notations, on peut obtenir des formules donnant la différentielle d'une application <math>\(f : \mathbb{R}^p\longrightarrow\mathbb{R}\)</math> en un point <math>\(x\in\mathbb{R}^p\)</math> comme la dérivée en 0 d'applications de <math>\(\mathbb{R}\)</math> dans <math>\(\mathbb{R}\)</math> bien choisies.



Edit : Corrigé par Blacktek depuis

Désolé, j'ai dit des bêtises ...