Bonjour,

j'ai un peu de difficulté à comprendre la solution d'un exercice (simple) sur les suites :

On a prouvé au préalable que :

<math>\(0 < 1/n^2 <= 1/(n-1) - 1/n\)</math>

on cherche maintenant à démontrer que :

<math>\(Un = somme(1/k^2)\)</math>
avec k entre 1 et n

est convergente et que sa limite L vérifie : 3/2 < L <= 2

La solution proposée consiste à considérer :

somme(1/k^2) <= 1 - 1/n
avec k entre 2 et n

d'où
<math>\(Un = somme(1/k^2) <= 2 - 1/n\)</math>
avec k entre 1 et n

Ce qui implique que la suite est majorée par 2.
Puis on prouve que la suite est croissante (ça ne me pose pas de problème) et on en déduit le résultat attendu.

Là où je bloque c'est ici :
somme(1/k^2) <= 1 - 1/n
avec k entre 2 et n

D'accord, on a prouvé que <math>\(1/n^2 <= 1/(n-1) + 1/n\)</math>
mais ne devrait-on pas mettre dans ce cas :

<math>\(somme(1/k^2) <= somme(1/(k-1) - 1/k)\)</math> ?

Et je n'ai pas l'impression que ceci mène à une solution.
Pourriez-vous me détailler les étapes intermédiaires ?

Merci


ps : désolé pour la présentation des formules mathématiques mais je ne sais pas comment rendre celles-ci bien écrit (en particulier les somme)

Salut,
En fait tu as bien comme tu le dis
<math>\(\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)</math> mais il faut un peu changer la partie droite pour arriver au résultat voulu :
<math>\(\begin{align*}\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k} &= \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k}\\&= 1 + \sum_{k=3}^n \dfrac{1}{k-1} - \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k}\\&= 1 + \sum_{k=2}^{n-1} \dfrac{1}{k} - \left(\sum_{k=2}^{n-1} \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{n}\right)\\&= 1 - \dfrac{1}{n}\end{align*}\)</math>
Je pense que ça devrait répondre à ta question.
Sinon pour les formules de maths, il y a la partie sur les maths du tutoriel sur Latex de Laleloulilo et sinon une liste (non-exhaustives) des signes et symboles mathématiques à ce lien.

Parfait, merci beaucoup!