Une fonction est définie comme une association entre deux nombres, un nombre de départ appelé antécédent et un nombre d'arrivée appelé image, et la donnée d'un ensemble de définition. Un antécédent doit appartenir à l'ensemble de définition et alors il a exactement une image. (Sinon ce n'est pas une fonction.) (En fait je crois que je viens de définir une « application », une fonction étant une application munie d'un graphe, mais ce sont des subtilités...)
J'aime bien voir une fonction comme une sorte de processus qui prend un nombre en entrée et retourne un nombre en sortie (comme en programmation).
Exemple 1 : la fonction « carré » associe à un nombre son carré. Ainsi, f(8) = 64.
Exemple 2 : la fonction « indicatrice des rationnels » associe à un nombre réel la valeur 1 s'il est rationnel, 0 s'il est irrationnel. Ainsi, f(1/3) = 1 mais f(π) = 0, puisque 1/3 est rationnel et que π ne l'est pas.
À l'école, on définit presque toujours une fonction à l'aide d'une expression. Mais il est important de comprendre que :
− Une fonction peut être définie par plusieurs expressions.
− Une fonction peut ne pas être définie par une expression, et même − pire − on peut prouver qu'il n'existe pas d'expression en termes d'opérations élémentaires pour la décrire.
Exemple : définissons \( f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1} \) pour tous les réels autres que 1, et f(1) =2. Eh bien cette fonction est exactement la même que \( x \mapsto x + 1 \). J'ai défini une fonction avec deux expressions.
Autre exemple : la fonction « indicatrice des rationnels » ne peut pas être définie à l'aide d'opérations élémentaires. Mais elle existe, puisqu'on lui a donné une définition précise, et c'est une fonction (pour tout nombre réel, il existe exactement une valeur possible, soit 0 soit 1).
Un exemple intermédiaire : la fonction cosinus. Il existe une formule pour la décrire à l'aide d'opérations élémentaires, mais c'est une formule infinie (une « série ») :
(où ! désigne la factorielle, par exemple 5! = 1×2×3×4×5). Il n'existe pas d'expression finie.
En fait une fonction n'associe pas forcément un nombre à un autre, mais plus généralement un objet mathématique à un autre. Ainsi, le périmètre peut être vu comme une fonction associant à une figure géométrique un nombre.
L'objet mathématique peut même être lui même une fonction. Par exemple si je définis F comme étant la fonction qui, à toute fonction définie en 0, associe sa valeur en 0, alors : F(cos) = 1, F(sin) = 0, \(F(\sqrt) = 0\), \(F(I_Q)=1\), etc. (J'ai noté \(I_Q\) l'indicatrice des rationnels.)
Lorsqu'on fait des prévisions météo, on utilise des fonctions du type f(x, y, z, t). Par exemple on peut considérer une fonction qui prend en entrée une position (x, y, z) et un instant (t) et qui retourne en sortie un vecteur, la vitesse du vent (ou un nombre, la température). Les lois de la physique permettent de mettre en équation ces fonctions : ce sont des équations dont les inconnues sont des fonctions et non des nombres. Et si on pouvait trouver une formule pour décrire ces fonctions, ce serait une révolution ! (Hélas il ne faut pas y compter...)
merci de vos réponses, je comprends mieux car à l'école en apprend beaucoup de fonctions et de formules mais je ne saisissait pas très bien la différence.
diiférences entre formules et fonctions
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Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
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