Bonjour

Je cherche, pour mes travaux, à déterminer la dimension de l'espace vectoriels des Nombres Univers. Par ailleurs je cherche à trouver une base de cet espace vectoriel. Je n'ai aucune idée de comment faire et à vrai dire je n'ai pas trouvé grand chose sur le net, c'est peut être trop spécifique. Est ce que vous pourriez me donner des pistes ou m'aider s'il vous plaît ?

Merci beaucoup

Au Revoir, Bonne Journée

Hi. 

Cela me semble compliqué. On peut déjà remarqué qu'il ne s'agit pas d'un R-espace vectoriel puisque non compatible avec la loi de multiplication externe ( \( \frac{1}{\pi} * \pi = 1 \) qui n'est pas univers.) 

Un autre problème est l'élément neutre. je doute que l'on puisse en trouver un parmi les nombre univers.

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Edité par edouard22 29 janvier 2019 à 1:56:30

j'ajouterais que la somme de deux nombres univers n'est pas nécessairement univers ( pour le constater, il suffit de prendre l'exemple simple de l'addition d'un nombre univers et du nombre dont les chiffres sont formés par son complément à 9 qui est aussi univers. L'addition donne un nombre formé uniquement de 9 qui n'est évidemment pas univers.

remarques: 

- prendre \(\pi\) comme contre exemple n'est pas  décisif , à ce jour, il n'est pas prouvé que \(\pi\) est un nombre univers même si on le conjecture  . De façon générale, il est souvent très difficile de montrer qu'un nombre irrationnel donné est univers alors que on sait en construire explicitement. On montre cependant que l'ensemble de ces nombres est infini non dénombrable.

- Un sous-ensemble à étudier au préalable   est celui des nombres dits normaux:  tout nombre normal est univers, la réciproque étant fausse . Dans un nombre normal, toute séquence finie de longueur\(k\) est équi-répartie et apparaît avec la probabilité \(1/b^k\) dans une base \(b\). Presque tout nombre réel est normal ( presque tout au sens de la mesure de Lebesgue, dit autrement le complémentaire de leur ensemble est un ensemble de mesure nulle.)

Pour un nombre univers, on ne se préoccupe pas de la fréquence, il suffit que toute séquence apparaisse au moins une fois. 

- Lorsque Ryan Carrier parle de base, il y a peut-être confusion. Ce qui joue un rôle, c'est la base au sens arithmétique. Un nombre peut être normal ( univers ) ou non selon la base de numération. On parle de nombre absolument normal s'il est normal en toute base.

- en terme d'espace- vectoriel, le corps de construction change tout

1- \(\mathbb{R}\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension 1.

2- \(\mathbb{R}\) est un  \(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel de dimension infinie non dénombrable !( bases de Hamel)

de 1 on peut déduire,  qu'il n'existe pas de \(\mathbb{R}\)-sous-espace vectoriel non trivial puisque en dimension finie  une sous-ev au sens  strict est de dimension strictement inférieure. Le seul sous-ev est \(\vec{0}\) enfin je crois !

pour 2, il y a des sous-ev, ne serait ce que \(\mathbb{Q}\) lui-même puisque tout corps est un sous-ev sur lui-même. Je pense qu'il y en a une infinité . Déjà si je considère un ensemble \(\lbrace r+s\sqrt{2}\rbrace, \forall r,s \in \mathbb{Q}\) , c'est un sous-corps de \(\mathbb{R}\)  et un \(\mathbb{Q}\) - sous-ev.

Quelles sont les parties \(\mathcal{P} (\mathbb{R})\) de \(\mathbb{R}\)  qui sont des \(\mathbb{Q}\) - sous-ev , sans doute un vaste problème ...  

Par contre, je  pense   les nombres univers ne sont pas d'avantage des  \(\mathbb{Q}\) - sous-ev .

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Edité par Sennacherib 31 janvier 2019 à 15:26:43

un espace vectoriel devrait contenir un élément neutre pour l'addition. Si tu considère l'ensemble des nombres univers muni de l'addition usuelle, alors il n'existe pas d'élément neutre pour l'addition car 0 n'est pas un nombre univers.

peut-être on peut changer la notion de "base" pour qu'elle soit appliquable à un sous-ensemble quelconque et discuter de l'existence d'une base pour l'ensemble des nombres univers.

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Edité par poipoi34 31 janvier 2019 à 21:11:54

poipoi34 a écrit:

un espace vectoriel devrait contenir un élément neutre pour l'addition. Si tu considère l'ensemble des nombres univers muni de l'addition usuelle, alors il n'existe pas d'élément neutre pour l'addition car 0 n'est pas un nombre univers.

Edité par poipoi34 il y a 8 minutes

c'est déjà dit ( cf.post de edouard22)

poipoi34 a écrit:

peut-être on peut changer la notion de "base" pour qu'elle soit appliquable à un sous-ensemble quelconque et discuter de l'existence d'une base pour l'ensemble des nombres univers.

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Edité par poipoi34 il y a 8 minutes

si tu pouvais préciser ta pensée...  

si ce n'est pas une base d'ev, il reste les bases d'espaces topologiques encore faudrait - t - il dire comment on dote \(\mathbb{R}\)  d'une topologie avec une base dont une sous-base serait une base des nombres univers....  

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Edité par Sennacherib 31 janvier 2019 à 21:48:11

Salut,

je pense effectivement que ce n'est pas possible avec les opérations d'addition et de multiplication habituelle sur les réels, pour les raisons exposées plus haut, mais peut-être qu'il serait possible de définir des opérations d'additions et de multiplication qui, associées aux nombres univers, respecteraient toutes les conditions d'un espace vectoriel ?

... si Ryan Carrier  trouve  une loi interne et externe donnant  à l'ensemble des nombres univers une structure d'espace vectoriel , ... je pense que la médaille Fields sera en vue.   Il a jusqu'à quarante ans pour aboutir, date d'âge limite pour ce prix !