Partage
  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter

Distance moyenne entre deux points aléatoires

15 mai 2015 à 16:06:59

Bonjour,

Comme l'indique le titre, je me posais la question suivante : comment calculer la distance (moyenne) entre deux points du plan, sachant que leurs coordonnées suivent des lois uniformes sur [0,1] ? Si vous avez des idées, je suis preneur, merci d'avance :)

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter
15 mai 2015 à 18:24:06

Si je comprends bien, il s'agit de la distance entre  deux points choisie au hasard dans un carré de côté (0.1).

je ne pense pas que le calcul soit totalement  trivial. J'ai sous la main un  résultat, mais sans la solution pour y parvenir et pour l'instant je   suis un peu égaré   dans des intégrales difficiles .... ma tentative est peut être trop "bourrine" mais à la base , on a quatre variables aléatoires uniformes x,x',y,y', et il faut calculer la moyenne de la variable aléatoire  \(\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2}\) :'(  

Ce résultat serait  a priori \(d_m= \frac{2+\sqrt{2}}{15} +\frac{1}{3}Ln(1+\sqrt{2})\) qui vaut environ 0,5214054 .

Cette valeur est confirmée par une simulation numérique que j'ai faite avec 100.000 couples( :p ) et je trouve 0,52145...

Donc a priori comme il semble y avoir un résultat explicite...c'est qu'il est trouvable , avis aux amateurs.

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
15 mai 2015 à 18:58:41

Hmm, effectivement, le résultat n'est pas très joli ^^ Le calcul est-il cependant réalisable "à la main" ? En posant X = x - x' et Y = y - y', on ne pourrait pas s'épargner quelques difficultés ? A vrai dire, je ne sais pas quelle est la loi de ces deux variables :/

En tout cas, merci pour cette réponse :)

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter
25 mai 2015 à 15:44:20

Je serai passé par des intégrales

et moyenne d'integrale mais là ça va être un peu long :p 

-
Edité par neuneutrinos 25 mai 2015 à 15:46:10

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter
Anonyme
25 mai 2015 à 16:41:42

Je préconiserai d'y aller pas à pas.

\( X_1 \sim \mathcal U ([0;1]) \) ; \( X_2 \sim \mathcal U ([0;1]) \) donc \( -X_2 \sim \mathcal U ([-1 ; 0]) \)

On recherche une densité de la variable aléatoire X = X_1 - X_2. Première chose : \( X(\Omega) = [-1 ; 1 ] \) On peut appliquer le produit de convolution : une densité \( f_X \) est donnée par

\[ f _X (x) = \int _R f _{X _1} ( t ) f _{X_2} ( x- t ) dt \]

On recherche sur quel intervalle l'intérieur de l'intégrale est non nul : avec les lois des variables X1 et X2 on obtient les inéquations

  • \( 0 \le t \le 1 \)
  • \( -1 \le x - t \le 0 \) d'où \( x \le t \le 1 + x \)

Disjonction de cas :

  • si - 1 < x < 0 : \(f_X (x)= \int_0\^{1+x} dt = 1 + x \)
  • si 0 < x < 1 : \(f_X (x) = \int_x\^{1} dt = 1 - x \)
  • ailleurs, la densité s'annule

(On vérifie rapidement que ça marche bien, positivité de la densité et l'intégrale sur R vaut 1). On en tire rapidement la fonction de répartition de X (je détaille pas les calculs ici pour aller plus vite)

\[F_X (x) = x + 1/2 + 1/2 x\^2 \text{ si } -1 \le x \le 0 \] \[F_X (x) = x + 1/2 - 1/2 x\^2 \text{ si } 0 \le x \le 1 \]

On pose Y = Y1 - Y2 : elle suit la même loi que X.

On recherche la loi de \(X\^2 \) : on passe par la fonction de répartition. Idem, première chose, \(X\^2(\Omega) = [ 0 ; 1 ] \) \(F_X\^2 (x ) = 0 si x \notin [0 ; 1 ] \) ; sinon si 0 < x < 1

\[ F_X\^2(x) = P(X\^2 \le x ) = P ( - x \le X \le x ) \] (x est positif), d'où

\[ F_X\^2(x) = 2x - x\^2 \] sur [ 0 ; 1 ], 0 avant, 1 après (sauf erreur dans mes calculs mais ça a l'air cohérent).

Donc on en tire une densité de X^2 et aussi de Y^2 : 2(1-x) sur [ 0 ; 1 ], 0 ailleurs. On peut ensuite refaire un produit de convolution, mais ça commence à faire des calculs lourds (!), je laisse quelqu'un qui aurait plus de volonté de continuer.

EDIT : bon, j'ai fait tourner l'ami Wolfram pour faire les calculs. J'obtiens la densité de la VA Z^2 = X^2 + Y^2 :

  • \( f_{Z\^2} (z) = 2 /3 z\^3 - 4 z\^2 + 4z \) si 0 < z < 1
  • \( f_{Z\^2} (z) = 2 /3 (2-z)\^3\) si 1 < z < 2

D'où la fonction de répartition de Z^2 :

\[ F_{Z\^2} = 1/6z\^2(z\^2-8z+12) \text { si } 0\le z \le 1\] \[ F_{Z\^2} = 5/6 + 1/6(1-(z-2)\^4 ) \text { si } 1\le z \le 2\]

D'où la fonction de répartition de \( Z = \sqrt{Z\^2 } \) d'où sa densité : 4/3z^3(z^4 - 6 z^2 + 6) si 0 < z < 1 ; -4/3z(z^2-2)^3 sinon. Mais Wolfram calcule alors une espérance de \[ \frac{1024\sqrt 2 - 704}{945} \approx 0.787465 \]

Doit y avoir une couille dans le pâté quelque part, mais où ... ?

-
Edité par Anonyme 25 mai 2015 à 17:53:09

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter
22 avril 2021 à 8:18:04

Bonjour,

Déterrage

Citation des règles générales du forum :

Avant de poster un message, vérifiez la date du sujet dans lequel vous comptiez intervenir.

Si le dernier message sur le sujet date de plus de deux mois, mieux vaut ne pas répondre.
En effet, le déterrage d'un sujet nuit au bon fonctionnement du forum, et l'informatique pouvant grandement changer en quelques mois il n'est donc que rarement pertinent de déterrer un vieux sujet.

Au lieu de déterrer un sujet il est préférable :

  • soit de contacter directement le membre voulu par messagerie privée en cliquant sur son pseudonyme pour accéder à sa page profil, puis sur le lien "Ecrire un message"
  • soit de créer un nouveau sujet décrivant votre propre contexte
  • ne pas répondre à un déterrage et le signaler à la modération

Je ferme ce sujet. En cas de désaccord, me contacter par MP.

  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter

Pas d'aide concernant le code par MP, le forum est là pour ça :) (en plus je n'y connais rien en C)