Comme l'indique le titre, je me posais la question suivante : comment calculer la distance (moyenne) entre deux points du plan, sachant que leurs coordonnées suivent des lois uniformes sur [0,1] ? Si vous avez des idées, je suis preneur, merci d'avance
Si je comprends bien, il s'agit de la distance entre deux points choisie au hasard dans un carré de côté (0.1).
je ne pense pas que le calcul soit totalement trivial. J'ai sous la main un résultat, mais sans la solution pour y parvenir et pour l'instant je suis un peu égaré dans des intégrales difficiles .... ma tentative est peut être trop "bourrine" mais à la base , on a quatre variables aléatoires uniformes x,x',y,y', et il faut calculer la moyenne de la variable aléatoire \(\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2}\)
Ce résultat serait a priori \(d_m= \frac{2+\sqrt{2}}{15} +\frac{1}{3}Ln(1+\sqrt{2})\) qui vaut environ 0,5214054 .
Cette valeur est confirmée par une simulation numérique que j'ai faite avec 100.000 couples( ) et je trouve 0,52145...
Donc a priori comme il semble y avoir un résultat explicite...c'est qu'il est trouvable , avis aux amateurs.
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Hmm, effectivement, le résultat n'est pas très joli Le calcul est-il cependant réalisable "à la main" ? En posant X = x - x' et Y = y - y', on ne pourrait pas s'épargner quelques difficultés ? A vrai dire, je ne sais pas quelle est la loi de ces deux variables :/
\( X_1 \sim \mathcal U ([0;1]) \) ; \( X_2 \sim \mathcal U ([0;1]) \) donc \( -X_2 \sim \mathcal U ([-1 ; 0]) \)
On recherche une densité de la variable aléatoire X = X_1 - X_2. Première chose : \( X(\Omega) = [-1 ; 1 ] \) On peut appliquer le produit de convolution : une densité \( f_X \) est donnée par
\[ f _X (x) = \int _R f _{X _1} ( t ) f _{X_2} ( x- t ) dt \]
On recherche sur quel intervalle l'intérieur de l'intégrale est non nul : avec les lois des variables X1 et X2 on obtient les inéquations
\( 0 \le t \le 1 \)
\( -1 \le x - t \le 0 \) d'où \( x \le t \le 1 + x \)
Disjonction de cas :
si - 1 < x < 0 : \(f_X (x)= \int_0\^{1+x} dt = 1 + x \)
si 0 < x < 1 : \(f_X (x) = \int_x\^{1} dt = 1 - x \)
ailleurs, la densité s'annule
(On vérifie rapidement que ça marche bien, positivité de la densité et l'intégrale sur R vaut 1). On en tire rapidement la fonction de répartition de X (je détaille pas les calculs ici pour aller plus vite)
\[F_X (x) = x + 1/2 + 1/2 x\^2 \text{ si } -1 \le x \le 0 \]
\[F_X (x) = x + 1/2 - 1/2 x\^2 \text{ si } 0 \le x \le 1 \]
On pose Y = Y1 - Y2 : elle suit la même loi que X.
On recherche la loi de \(X\^2 \) : on passe par la fonction de répartition. Idem, première chose, \(X\^2(\Omega) = [ 0 ; 1 ] \)
\(F_X\^2 (x ) = 0 si x \notin [0 ; 1 ] \) ; sinon si 0 < x < 1
\[ F_X\^2(x) = P(X\^2 \le x ) = P ( - x \le X \le x ) \] (x est positif), d'où
\[ F_X\^2(x) = 2x - x\^2 \] sur [ 0 ; 1 ], 0 avant, 1 après (sauf erreur dans mes calculs mais ça a l'air cohérent).
Donc on en tire une densité de X^2 et aussi de Y^2 : 2(1-x) sur [ 0 ; 1 ], 0 ailleurs. On peut ensuite refaire un produit de convolution, mais ça commence à faire des calculs lourds (!), je laisse quelqu'un qui aurait plus de volonté de continuer.
EDIT : bon, j'ai fait tourner l'ami Wolfram pour faire les calculs. J'obtiens la densité de la VA Z^2 = X^2 + Y^2 :
\( f_{Z\^2} (z) = 2 /3 z\^3 - 4 z\^2 + 4z \) si 0 < z < 1
\( f_{Z\^2} (z) = 2 /3 (2-z)\^3\) si 1 < z < 2
D'où la fonction de répartition de Z^2 :
\[ F_{Z\^2} = 1/6z\^2(z\^2-8z+12) \text { si } 0\le z \le 1\]
\[ F_{Z\^2} = 5/6 + 1/6(1-(z-2)\^4 ) \text { si } 1\le z \le 2\]
D'où la fonction de répartition de \( Z = \sqrt{Z\^2 } \) d'où sa densité : 4/3z^3(z^4 - 6 z^2 + 6) si 0 < z < 1 ; -4/3z(z^2-2)^3 sinon. Mais Wolfram calcule alors une espérance de \[ \frac{1024\sqrt 2 - 704}{945} \approx 0.787465 \]
Doit y avoir une couille dans le pâté quelque part, mais où ... ?
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