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Divisible par 8

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9 décembre 2010 à 21:19:23

Bonsoir,

Je me permets de placer dans un message spécifique la question de pingloveur, question posée ICI dans un autre message

Soit p un nombre premier>2

Démontrer que p²-1 est divisible par 8

Aladix

9 décembre 2010 à 21:35:14

Spoil : c'est niveau collège (sisi !), j'espère que ça encouragera les plus jeunes à le chercher !

Nanoc

9 décembre 2010 à 22:00:24

Un petit spoiler en rot13 pour les amateurs.

<rot13>
c pneer zbvaf ha f'rpevg pbzzr (c zbvaf ha) sbvf (c cyhf ha). Pbzzr c rfg ha cerzvre cyhf tenaq dhr qrhk, nybef c rfg vzcnve. Pr dhv vzcyvdhr dhr (c zbvaf ha) rg (c cyhf ha) fbag gbhf yrf qrhk cnvef, qbap qrf zhygvcyrf qr qrhk. Vy rfg qbap rivqrag dhr (c pneer zbvaf ha) rfg qvivfvoyr cne dhnger.
Nyybaf cyhf ybva.
Fv (c zbvaf ha) rfg qvivfvoyr cne dhnger, nybef yn cebcevrgr rfg qrzbagerr chvfdhr (c cyhf ha) rfg qvivfvoyr cne qrhk. Yrhe cebqhvg rfg sbeprzrag qvivfvoyr cne uhvg.
Fv pr a'rfg cnf yr pnf, nybef (c zbvaf ha cyhf qrhk) dhv inhg (c cyhf ha) rfg yhv qvivfvoyr cne dhnger. Rg ba ergbzor fhe yr cebqhvg q'ha zhygvcyr qr qrhk rg q'ha zhygvcyr qr dhnger.

Yr cebqhvg (c zbvaf ha) sbvf (c cyhf ha) rfg qbap sbeprzrag pbafgvghr q'ha zhygvcyr qr qrhk rg q'ha zhygvcyr qr dhnger. P'rfg qbap ha zhygvcyr qr uhvg.

(c pneer zbvaf ha) rfg qbap qvivfvoyr cne uhvg.

PDSQ
</rot13>

P.S.: Pas mal les maths écrits en français puis traduits en rot13.

Co-auteur du cours de C++. ||| Posez vos questions sur le forum ||| Me contacter.

gralzik

9 décembre 2010 à 22:11:25

Salut, je pense avoir trouver la solution.

Si quelqu'un peut confirmer...

On sait que P est un nombre premiers donc <math>$P = 2x + 1$</math>

<math>$P^2 = (2x+1)^2$</math>
<math>$P^2 - 1 = (2x+1)^2 - 1$</math>

On développe grâce à l'identité remarquable.

<math>$P^2 - 1 = 4x^2+ 4x + 1 - 1$</math>
<math>$P^2 - 1 = 4x^2 + 4x$</math>
<math>$P^2 - 1 = 4x(x + 1)$</math>
On divise par 4
<math>$P^2 - 1 = x(x + 1)$</math>

On remarque que <math>$P^2 - 1$</math> est divisible par 4 et donc par extension par 8.

Voilà A+

Manuu

9 décembre 2010 à 22:12:51

Voici un début de solution, je te laisse finir.
<math>$p^2-1=(p-1)(p+1)$</math>
8 admet pour diviseur 8, 4, 2 et 1.
Or si <math>$(p-1)(p+1)$</math> est divisible par 8, le terme de gauche doit doit être divisible par 1 et celui de droite par 8 ou alors le terme de gauche divisible par 2 et celui de droite par 4 car <math>$(p-1)<(p+1)$</math>

Citation : gralzik

Salut, je pense avoir trouver la solution.
Si quelqu'un peut confirmer...

On sait que P est un nombre premiers donc <math>$P = 2x + 1$</math>

<math>$P^2 = (2x+1)^2P^2 - 1 = (2x+1)^2 - 1$</math>

On développe grâce à l'identité remarquable.

<math>$P^2 - 1 = 4x^2+ 4x + 1 - 1$</math>
<math>$P^2 - 1 = 4x^2 + 4x$</math>
<math>$P^2 - 1 = 4x(x + 1)$</math>
On divise par 4
<math>$P^2 - 1 = x(x + 1)$</math>

<math>$P^2 - 1$</math> est divisible par 4 et donc par extension par 8.

Voilà A+

x est divisible par 1, donc par extension il l'est par 1 000 000 :-°

Edit : t'avais raison car <math>$x(x+1)$</math> est divisible par 2, au temps pour moi

gralzik

9 décembre 2010 à 22:37:06

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

HS : On dit "au temps pour moi" ou " autant pour moi" ?

stalex

9 décembre 2010 à 22:44:50

Citation : gralzik

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

HS : On dit "au temps pour moi" ou " autant pour moi" ?

12 est divisible par 4 mais pas par 8 :euh:

Manuu

9 décembre 2010 à 22:47:13

Citation : gralzik

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

HS : On dit "au temps pour moi" ou " autant pour moi" ?

Ça a une origine militaire, mais aujourd'hui les 2 sont acceptés mais s'il n'en fallait qu'une ça serait la première

gralzik

9 décembre 2010 à 23:03:29

Citation : Stalex

Citation : gralzik

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

HS : On dit "au temps pour moi" ou " autant pour moi" ?

12 est divisible par 4 mais pas par 8

Oui, mais 12 n'est pas un nombre premier.

Prenons l'exemple de 11 qui est un nombre premier :
<math>$11^2 - 1 = 120$</math>
<math>$120 / 8 = 15$</math>

Citation : Manuu

Ça a une origine militaire, mais aujourd'hui les 2 sont acceptés mais s'il n'en fallait qu'une ça serait la première

Ok, merci.

candide

9 décembre 2010 à 23:11:35

Citation : Nanoc

P.S.: Pas mal les maths écrits en français puis traduits en rot13.

Utilise donc un rot47

A/a` l WA `X WA Z `X] r@>>6 A 6DE F? AC6>:6Cma[ 2=@CD A 6DE :>A2:C] r6 BF: :>A=:BF6 BF6 WA `X 6E WAZ `X D@?E E@FD =6D 56FI A2:CD[ 5@?4 56D >F=E:A=6D 56 56FI] x= 6DE 5@?4 6G:56?E BF6 A/a` 6DE 5:G:D:3=6 A2C BF2EC6] p==@?D A=FD =@:?] $: A ` 6DE 5:G:D:3=6 A2C c[ 2=@CD =2 AC@AC:6E6 6DE 56>@?EC66 AF:DBF6 A Z ` 6DE 5:G:D:3=6 A2C a] {6FC AC@5F:E 6DE 7@C46>6?E 5:G:D:3=6 A2C g] $: 46 ?V6DE A2D =6 42D[ 2=@CD A ` Z a l A Z ` 6DE =F: 5:G:D:3=6 A2C c] tE @? C6E@>36 DFC =6 AC@5F:E 5VF? >F=E<couleur nom="turquoise"></couleur>:A=6 56 a 6E 5VF? >F=E:A=6 56 c] {6 AC@5F:E WA `XWA Z `X 6DE 5@?4 7@C46>6?E 4@?DE:EF6 5VF? >F=E:A=6 56 a 6E 5VF? >F=E:A=6 56 c] rV6DE 5@?4 F? >F=E:A=6 56 g] A/a` 6DE 5@?4 5:G:D:3=6 A2C 9F:E] r"us

Sinon, il suffit de montrer le résultat pour p=1 et p=3, ce qui est évident.
EDIT : Je sens que quelqu'un va me dire que p=1 n'est pas premier

Caduchon

10 décembre 2010 à 1:30:39

Citation : gralzik

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

HS : On dit "au temps pour moi" ou " autant pour moi" ?

On dit "au temps pour moi". Cette expression est bien d'origine militaire, cela vient de "au temps pour les crosses".
Plus d'explications sur le site de l'académie française: Au temps pour moi

NB: Contrairement à ce qu'a dit Manuu, les deux ne sont pas acceptés mais malheureusement de plus en plus courants...

Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\

gaby4451

10 décembre 2010 à 14:27:04

Citation : gralzik

On sait que P est un nombre premiers donc <math>$P = 2x + 1$</math>

C'est moi ou il y a une grosse bêtise d'écrite?! <math>$P = 2x + 1$</math> est pour P impair mais pas pour P premier.
Si <math>$P=2*4+1$</math> alors P=9 et 9 n'est pas premier

simpsonmaniac

10 décembre 2010 à 14:47:53

Citation : gaby4451

Citation : gralzik

On sait que P est un nombre premiers donc <math>$P = 2x + 1$</math>

C'est moi ou il y a une grosse bêtise d'écrite?! <math>$P = 2x + 1$</math> est pour P impair mais pas pour P premier.
Si <math>$P=2*4+1$</math> alors P=9 et 9 n'est pas premier

Oui, enfin l'implication est dans l'autre sens

. Il n'a pas dit que tout nombre de la forme <math>$2x+1$</math> était premier mais que si P est premier, il s'écrira <math>$2x+1$</math> (parce qu'à part 2, on ne peut pas avoir de nombre premier pair).

ordiclic

10 décembre 2010 à 14:55:39

gaby4451 : oui, mais non.
<math>$P \text{ premier}>3\Rightarrow P=2x+1$</math>, même si l'équivalence n'est pas vraie.

Grmpf, grillé.

pingloveur

10 décembre 2010 à 20:17:12

On sait que P est un nombre premiers donc P = 2x + 1

P^2 = (2x+1)^2
P^2 - 1 = (2x+1)^2 - 1

On développe grâce à l'identité remarquable.

P^2 - 1 = 4x^2+ 4x + 1 - 1
P^2 - 1 = 4x^2 + 4x
P^2 - 1 = 4x(x + 1)
On divise par 4
P^2 - 1 = x(x + 1)

On remarque que P^2 - 1 est divisible par 4 et donc par extension par 8.

Le par extension me gêne. Je pense que tu sais pourquoi tu le fait, mais tu ne l'explique pas. Il faut préciser que l'un est forcément paire

Je met donc la solution dans le sujet qui réunit tout les exo en rajoutant ceci, et j'en rajoute un nouveau si j'ai le temps.

Sois ce que tu codes, codes ce que tu es.

Aladix

10 décembre 2010 à 20:27:37

Bon vu que l'exo à déjà été totalement spoilé, je propose une démonstration (qui en fait est la même) mais vu de façon plus intuitive :
Si <math>$p$</math> est impair <math>$>2$</math>, alors <math>$p-1$</math> et <math>$p+1$</math> sont tous deux pairs (et non nuls).
Alors <math>$p^2-1 = (p-1)(p+1)$</math> qui est donc le produit de deux nombres pairs consécutifs. L'un des deux est donc divisible par <math>$4$</math> et le produit est bien divisible par <math>$8$</math>.

En particulier lorsque <math>$p$</math> est premier impair ...

pingloveur

10 décembre 2010 à 20:44:19

Merci aladix, très bonne approche. Je vais l'ajouter.
PS: spoiler ça veut dire quoi?
Déçu que personne ne la résolu avec les congruences...

Sois ce que tu codes, codes ce que tu es.

Typen

10 décembre 2010 à 20:57:06

Comme <math>$p$</math> est impair, ses congruences possibles modulo 8 sont 1, 3, 5 ou 7 dont le carré est à chaque fois congru à 1 modulo 8.
CQFD

candide

10 décembre 2010 à 21:03:49

Citation : Typen

Comme <math>$p$</math> est impair, ses congruences possibles modulo 8 sont 1, 3, 5 ou 7 dont le carré est à chaque fois congru à 1 modulo 8.
CQFD

oui et même on peut se ramener à 1 et 3 puisque, modulo 8, on a 5 qui est congru à -3 et 7 est congru à -1.

Typen

10 décembre 2010 à 21:46:31

Citation : candide

Citation : Typen

Comme <math>$p$</math> est impair, ses congruences possibles modulo 8 sont 1, 3, 5 ou 7 dont le carré est à chaque fois congru à 1 modulo 8.
CQFD

oui et même on peut se ramener à 1 et 3 puisque, modulo 8, on a 5 qui est congru à -3 et 7 est congru à -1.

En effet, il n'y avait vraiment pas de quoi s'inquiéter

gralzik

11 décembre 2010 à 11:06:02

Salut,

Citation : pingloveur

Le par extension me gêne. Je pense que tu sais pourquoi tu le fait, mais tu ne l'explique pas. Il faut préciser que l'un est forcément paire Je met donc la solution dans le sujet qui réunit tout les exo en rajoutant ceci, et j'en rajoute un nouveau si j'ai le temps.

Hum, je l'ai rajouté, mais pas sur la démonstration.

Citation : gralzik

Oui, ce sont des nombres consécutifs donc l'un deux est forcément pairs.

Thomash

11 décembre 2010 à 16:09:41

en fait l'hypothèse p premier est inutile, il suffit p impair.
p est congru à 1, 3, 5 ou 7 mod 8, on vérifie facilement que 1²=3²=5²=7²=1 mod 8

Sidahmed

17 décembre 2010 à 15:29:17

Citation : Aladix

En particulier lorsque <math>$p$</math> est premier impair ...

Est-ce qu’il y a des nombres premiers pairs supérieurs à 2 ?

Caduchon

17 décembre 2010 à 15:40:57

Citation : sidahmed

Citation : Aladix

En particulier lorsque <math>$p$</math> est premier impair ...

Est-ce qu’il y a des nombres premiers pairs supérieurs à 2 ?

Non.
S'il existait un tel nombre <math>$p$</math>, il serait divisible par 1 par 2 et par lui-même et ne serait donc pas premier.

Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\

candide

17 décembre 2010 à 16:26:08

Citation : sidahmed

Est-ce qu’il y a des nombres premiers pairs supérieurs à 2 ?

Pas sûr que Bill Gates aurait su répondre, lui à qui on prête :

The obvious mathematical breakthrough would be development of an easy way to factor large prime numbers.

C'est le jour où il s'est rendu compte que sa fortune était un très grand nombre premier qu'il a enfin compris qu'on pouvait la diviser

Knives Out

17 décembre 2010 à 16:46:48

Si cela vous amuse, vous pouvez même démontrer que si p est premier et supérieur ou égal à 5, p² - 1 est divisible par 24... Il est pourtant vrai que ce n'est pas une suggestion très originale au vu de ce qui précède mais voici une solution possible :

p² - 1 = (p + 1)(p - 1).

Comme p est supérieur ou égal à 3 on a : p = 1 [4] ou p = 3 [4]
Dans le premier cas, 4 | p - 1 et 2 | p + 1 donc 8 | p² - 1
Dans le second cas, 2 | p - 1 et 4 | p + 1 donc de nouveau, 8 | p² - 1

De plus, puisque p > 3 p n'est pas congru à 0 modulo 3 mais à 1, ou 2 modulo 3.
Si p = 1 [3] alors p² = 1 [3] et 3 | p² - 1.
Si p = -1 [3] alors p² = 1 [3] et 3 | p² - 1

Comme 8 est premier avec 3, 24 divise p² - 1.

[Edit] En effet. Supérieur à 5, je suis fatigué.

Caduchon

17 décembre 2010 à 17:19:55

Citation : Knives Out

Si cela vous amuse, vous pouvez même démontrer que si p est premier et supérieur ou égal à 3, p² - 1 est divisible par 24... Il est pourtant vrai que ce n'est pas une suggestion très originale au vu de ce qui précède mais voici une solution possible :

<math>$3^2-1 = 8$</math> est divisible par 24... Mais bien-sûûûr ! :lol:

Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\

candide

17 décembre 2010 à 17:24:44

Citation : Caduchon

<math>$3^2-1 = 8$</math> est divisible par 24... Mais bien-sûûûr !

C'est une coquille, dans sa preuve, il écrit :

Citation : Knives Out

De plus, puisque p > 3 p n'est pas congru à 0 modulo 3 mais à 1, ou 2 modulo 3.

Fokiia

18 décembre 2010 à 12:30:39

Citation : pingloveur

On sait que P est un nombre premiers donc P = 2x + 1i le temps.

Heu... 21 = 2 x 10 + 1, et 21%3 = 0 :-°

candide

18 décembre 2010 à 12:38:15

Citation : Fokiia

Citation : pingloveur

On sait que P est un nombre premiers donc P = 2x + 1i le temps.

Heu... 21 = 2 x 10 + 1, et 21%3 = 0

Et alors ? C'est toi qui ne comprends pas le sens de sa phrase.

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