Bonsoir,

J'ai des difficultés avec le DM ci-dessous. Notamment pour la question 5 : j'ai bien remarqué que Dn,n-1 = 0 et que Dn,n=1. Mais comment pourrais-je le justifier ?

Ensuite, comment faire pour la question 12 ? On pourrait peut-être montrer que l'application est injective et surjective, mais je n'arrive pas à le faire...

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci beaucoup.

Bonne soirée.

Bonsoir ! Plus de 24h et aucune réponse. Il est possible que c'est parce que si l'on veut répondre, on doive se pencher en détail sur ce sujet, donc y passer une heure. J'avoue que je n'en ai pas envie. C'est une bonne idée de mettre tout le contexte, au moins on a toutes les informations. C'est mieux que certaines demandes où on ne nous dit pas tout... Mais là je crois que ça va trop loin dans le sens contraire. Est-ce que tu pourrais poser des questions qui permettent de répondre assez vite, sans se coltiner tout le sujet ? Je ne sais pas si c'est possible, mais j'ai peur que sans ça personne ne prenne le temps de t'aider. Après, je ne veux pas parler pour les autres, c'est d'ailleurs pour ça que j'ai attendu 24h pour faire cette remarque.

J'allais plussoyer la réponse de Robun : un tel pavé, ça va demander un investissement trop long, j'abandonne.

Mais j'ai quand même relu un peu. Et la question 5, elle doit pouvoir se formuler assez simplement.

D[n,n] : ce sont les arrangements de n éléments, pour lesquels on a n points fixes. C'est donc la fonction identité (caser ce mot dans la réponse,... c'est le petit plus). La fonction identité  de [1,n] vers [1,n], elle est unique, donc une seule solution.

D[n,n-1] : si on a n-1 points fixes parmi n points, alors le dernier point est aussi un point fixe. Donc Exactement n-1 points fixes, c'est impossible. Donc effectivement, la réponse est 0.  Je mense que dans l'esprit, on ne demande pas un formalisme extrême. Une réponse de ce type devrait convenir.

Regardons maintenant la question 12 et cette fonction dont on doit démontrer qu'elle est bijective. Effectivement, pour montrer que cette fonction est bijective, il faut montrer qu'elle est injective et surjective.

Ici, on t'aide , on te dit que la fonction est bijective, et on te demande de le démontrer. Mais c'est un cadeau empoisonné.   Oublie l'indice, oublie que dans le vrai énoncé, on te dit que cette fonction est bijective. Et répond à cette question : 'Cette fonction est-elle bijective ?' 

Oublie qu'on t'a donné la réponse à cette question dans l'énoncé original. Dis-toi qu'il y a peut-être une erreur dans l'énoncé. Essaie de visualiser la fonction (il ne faut rien écrire, juste VISUALISER cette fonction). Si de toi-même tu sais dire : "oui ou non, cette fonction est injective ; oui ou non, cette fonction est surjective" , alors tu trouveras comment le formuler.

Le pavé, c'est quand même un guidage pas à pas,pour une façon parmi d'autres, de calculer le nombre de permutations avec \(k\) point fixes et le nombre de dérangements (\(k=0\)), un grand classique des exercices de dénombrement    dont l'application est une variante du problème  dit  des chapeaux ou des manteaux ou des lettres distribuées au hasard par un facteur distrait, au choix!  .
Donc si on connait, ce problème n'est pas un investissement énorme.
Ce qui me parait étrange, c'est que Benjaminmilo1 s'est inscrit sur OC uniquement pour poster son pavé et ne semble s'interroger que sur deux questions la 5 (triviale) et la 12 pas très difficile quand même. S'il bloque en 12, ...il n'est pas encore arrivé en 20!
Donc quand il reviendra ( s'il revient, ...  il ne s'est pas reconnecté depuis son inscription, donc il a peut-être trouvé son bonheur ailleurs), on verra s'il a d'autres  questions  et il sera peut-être temps de répondre plus précisément sauf s'il a tout résolu ...sauf 5 et 12!

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Edité par Sennacherib 27 novembre 2018 à 9:39:28

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai finalement pu répondre à ces questions, notamment avec l'aide précise de tbc92.

Il me reste des difficultés pour la 11.c (Python), pour la 12.b, la 13, et la 14.

Pourriez-vous me mettre sur la voie s'il vous plaît ?

Merci et bonne journée.

Pour la 11.c, est-ce que la formule pour calculer les D(n, k) à partir de d(n) est bien celle de la question B-9 ?

Dans ce cas il faut juste faire un changement d'indice pour l'écrire en fonction de n et k, et non de n et n-k. Par exemple on pose k' = n-k et je te laisse calculer ce que ça donne : le produit d'un coefficient binomial (utiliser la fonction du 11.b) par un \( d_k \) (utiliser la fonction du 11.a).

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Edité par robun 28 novembre 2018 à 9:23:49

Tu as des difficultés avec la 13.a) ?  C'est la copie quasi conforme de la 12. Si tu as des difficultés avec la 13.a), alors recommence la question 12.

  bloquer en 12a  laissait supposer des difficultés pour la suite ce qui semble se confirmer 12 b  13 a, 13 b,14,... et on peut légitimement se poser la question pour  D?  

Quelques indications limitées si on ne veut pas résoudre de fil en aiguille le problème à ta place ....

12 b) c'est un dénombrement facile , guidé en plus par la question 14 où la récurrence à trouver est donnée et  suggère le résultat attendu ( comme pour  13 b ensuite).   

13 a) je ne sais pas comment tu as raisonné pour 12 a) à partir de ce que tbc92 a dit,   mais pour  13 a) je suggère   de considérer la permutation composée   \(s(1,\alpha) \circ\varphi \) sur \([1,...,n]\) où s est la transposition qui échange 1 et \(\alpha\) . Constater alors que la définition de \(\psi_2\) en fait une  restriction de cette permutation sur \([1,...,n]\setminus \alpha\) ; en tirer les conséquences.

et pour 14, quel ensemble est \( \mathcal{D}_1\cup \mathcal{D}_2\) ?. ..si on a répondu à 12 b et à 13 b, on peut s'en douter. Il s'agit donc de montrer que,  en distinguant les \(\varphi\) tels que \(\varphi(\varphi(1)=1\) et \(\varphi(\varphi(1)\neq 1\) , on définit bien l'ensemble des dérangements de \([1,...,n]\)

edit: posté sans avoir vu les deux messages précédents avec un ordi en sommeil sur la page! 

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Edité par Sennacherib 29 novembre 2018 à 7:50:38