Bonjour,

ça fait un moment que je bloque, et ça honnêtement ça me gonfle un peu, surtout que la solution à l'air d'être à coup sûr bête.

Tant pis, on mettra sur le compte de la fatigue et je cède : je demande de l'aide.

Voici la fonction : <math>\(f(x) = \frac{x^2}{x-2}\)</math> ; et il faut l'écrire sous la forme : <math>\(f(x) = x + a + \frac{b}{x-2}\)</math> ; où a et b sont des constantes à déterminer.

Comme je ne vois pas instinctivement comment on pourrait décomposer <math>\(x^2\)</math> de cette façon, je pars de l'égalité pour essayer de déterminer les réels a et b.

D'où le développement suivant :

<math>\(\frac{x^2}{x-2} = x + a + \frac{b}{x-2}\)</math>

<math>\(\Leftrightarrow x^2 = x(x-2) + a(x-2) + b\)</math>

<math>\(\Leftrightarrow x^2 = x^2 - 2x + ax - 2a + b\)</math>

<math>\(\Leftrightarrow (a-2)x+(b-2a) = 0\)</math> (Pour ces deux dernières lignes ce n'est pas ce que je recherche, mais ça peut servir par la suite)

<math>\(\Leftrightarrow x = \frac{2a-b}{a-2}\)</math>

Si on reprend de la troisième ligne ça nous donne donc :

<math>\(\Leftrightarrow (x-2)a-2x+b = 0\)</math>

D'où : <math>\(\Leftrightarrow a = \frac{b-2x}{x-2}\)</math>

Ou bien : <math>\(\Leftrightarrow b = (2-x)a + 2x\)</math>

Mais je vois pas comment exploiter ces résultats, en plus d'avoir l'impression de tourner en rond, si ce n'est de faire fausse route depuis le début. Mais je n'ai pas d'autres idées.

Citation : Renesis-3

Comme je ne vois pas instinctivement comment on pourrait décomposer <math>\(x^2\)</math> de cette façon

<math>\(x^2=x^2-4+4=(x-2)(x+2)+4\)</math>, on remplace au numérateur et on casse la fraction en deux, ce qui donne très vite la réponse.

Citation : Renesis-3

<math>\(\Leftrightarrow x = \frac{2a-b}{a-2}\)</math>

A condition que a soit distinct de 2 ...

En effet, et donc si mes calculs sont bons, a = 2 et b = 4.

Mais y'a une méthode ou un raisonnement pour le trouver, ou il faut simplement le "voir" ?

Citation : Renesis-3

En effet, et donc si mes calculs sont bons, a = 2 et b = 4.

Mais y'a une méthode ou un raisonnement pour le trouver, ou il faut simplement le "voir" ?

Les deux

Quelle est donc la méthode ?

Citation : Renesis-3

Quelle est donc la méthode ?

Tu as donc mis en "Résolu" alors que ça ne l'est pas .


Indication :

Citation : Renesis-3

<math>\((a-2)x+(b-2a) = 0\)</math>

Quel "statut" a x dans cette égalité que tu écrite plus haut ?

Reformule en français courant ce qu'on peut dire de a, b et x dan cette égalité.

Ce que je peux discerner :

<math>\((a-2)\)</math> est le coefficient directeur de l'expression ;
<math>\((b-2a)\)</math> l'ordonné à l'origine ;
<math>\(x\)</math> la variable.

Ce qui veut dire qu'il nous faut <math>\(x = 0 \quad \text{ou} \quad a-2=0 \Leftrightarrow a=2 \quad;\quad \text{et} \quad b-2a = 0 \Leftrightarrow b = 2a = 4\)</math>, n'est-ce pas ?
Voir même pour être plus rigoureux il faudrait établir un système à résoudre.

Directement tu fais une division euclidienne de x² par x-2 :
Donc tu auras x²=P(x)*(x-2)+Q(x), avec P,Q deux polynômes, tel que le degré de Q soit inférieur au degré de x-2 donc Q est une constante. Si tu fais sais faire une telle division euclidienne dans les polynômes, en divisant par x-2 des deux côtés t'aura gagné.

Ou alors tu mets tout simplement sous le même dénominateur

Puis tu identifies :

Et tu conclus :

EDIT : développement rajouté.
EDIT2 : aargh; j'arrive pas à finir le raisonnement
EDIT3 : erreur corrigée raisonnement correct

En fait, si tu souhaites utiliser ton raisonnement, il faut voir que ton égalité doit être valable pour tout <math>\(x\)</math>, donc à partir de là, c'est tout simple, tu as directement <math>\(a-2=0\)</math> et <math>\(b-2a=0\)</math>.

Ou bien tu ajoute 4 et enlève 4 et tu écris x^2-4 = (x-2)(x+2)

Citation : julienvonmarseille

Ou alors tu mets tout simplement sous le même dénominateur

<math>\(x+a+\frac{b}{x-2} = \frac{(x+a)(x-a) + b}{x-2} = \frac{x^2-a^2+b}{x-2}\)</math>

Puis tu identifies :

<math>\(-a^2-b=0 <=>\)</math>je n'arive pas à aller plus loin (deux inconnues dans la même équation on arrive à une solution espace vectoriel)

EDIT : développement rajouté.
EDIT2 : aargh; j'arrive pas à finir le raisonnement

Modulo "erreur de calcul" c'est bon