Bonjour,

Tout est dans le titre, je galére à résoudre la dite équation de chaleur et surtout de retrouver les données initials pour la résoudre avec la methode explicite : 

Merci infiniment <3 

je ne comprends pas trop de que tu veux dire endisant: "retrouver les données initiales pour la résoudre avec la méthode explicite"

indications générales :

(on trouve les détails de calcul  facilement sur le Net ... il suffit de taper "équation de la chaleur 1D", la principale difficulté peut être éventuellement d'appliquer correctement les conditions aux limites spécifiques du problème ... c'est peut-être ce que tu veux dire.) 

On résout usuellement   cette équation 1D en  cherchant une solution analytique sous forme de séries de Fourier .

On commence par chercher les solutions particulières à variables séparées \(u(x,t)=f(x)g(t)\) et la solution générale est obtenue par superposition des solutions particulières.

La recherche sous la forme \(u(x,t)=f(x)g(t)\)  conduit à deux équations différentielles ordinaires, une en \(x\) t(autre en \(t\).

En notant \(\alpha= \frac{\kappa}{c \rho}\) , on trouve des équations de la forme \(\frac{dg}{dt} +k g(t)=0\) et \(\frac{d^2 f}{dx^2} +k \alpha  f =0\) ,\(k\) étant à ce stade une constante arbitraire. On résout les équations et on détermine \(k\) avec les conditions aux limites spatiales .

On se rend compte que on doit avoir \(k>0\) et les solutions sont de la forme \(f(t)=A e^{-k \alpha t} et g(x)=B \cos(\sqrt{k} x) +C \sin(\sqrt{k} x)\)

 On doit jongler avec les conditions limites pour trouver l'expression de la constante \(k\) . Elle  prend une infinité de valeurs possibles ,  fonction de \(n \in\mathbb{N}\) .( c'est l'équation spatiale qui détermine ces valeurs \(k_n\).  Il y   a donc une infinité de solutions de la forme \(u_n(x,t)=.A e^{-k \alpha t}(b_n \cos(k_n x) +c_n \sin(k_n  x) ) \) et on cherche alors la solution générale sous la forme  \(u (x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x,t)   \)

La condition initiale à \(t=0\) est donnée  en hypothèse , soit u(x,0), et permet de calculer les \(b_n, c_n\). En effet \(  u (x,0)=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n  cos (k_n x) +c_n \sin(k_n x) \). On reconnait une  série de Fourier dont les coefficients se calculent  classiquement connaissant \(u(x,0)\) par intégration. 
( cela suppose implicitement que \(u(x,0)\) est développable en série de Fourier donc que les intégrales existent... en général c'est le cas dans les problèmes de physique! ) 

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Edité par Sennacherib 9 mai 2018 à 21:41:39

Bonjour,

Tu es certain que ta première équation est correcte ? Si tu poses kappa la diffusivité thermique, alors ton équation n'est pas homogène.

En effet, kappa = lambda / rho * c où lambda est la conductivité thermique liée à la loi de Fourier; rho est la masse volumique du matériau et c est la capacité thermique massique à pression constante.

Comme les notations ne sont pas définies, il y a peut-être une notation inhabituelle . Aucune "loi" n'interdit de noter \(\kappa\) la conductivité thermique .  ...même si une erreur de transcription est plus probable.

Mais par  rapport à la question mathématique, cela ne change rien au principe de recherche de solutions d'une telle EDP.  

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Edité par Sennacherib 13 mai 2018 à 8:13:58