Bonjour je sais qu'un endomorphisme est isomorphe à condition que son noyau soit le vecteur nul mais comment faire pour rendre cet endomorphisme non isomorphe. Par exemple j'ai l'application :

(3y+6x+z   5y+4x+z  ay+x+2z)

Comment en déterminant a je peux rendre cet endomorphisme non isomorphe ?

Merci d'avance.

-
Edité par aperdemak 18 décembre 2017 à 13:30:31

trouver le noyau de \(\mathcal{E}\) revient à chercher \((x,y,z)\) tel que \(\mathcal{E}(x,y,z)=(0,0,0)\) donc à résoudre le système:

\(6x+3y+z=0\)

\(4x+5y+z=0\)

\(x+ay+2z=0\)
Ce système homogène aura une autre  solution que le vecteur  nul (donc \(\mathcal{E}\) ne sera pas un endomorphisme ) si son déterminant est nul ce qui te conduit à trouver \(a\) pour que cette condition soit vérifiée. 

-
Edité par Sennacherib 18 décembre 2017 à 15:13:15

donc si j'ai bien compris je dois trouver a pour que l'equation avec le a n'aie pas de solution unique, c'est possible de faire sans déterminant(on l'a pas vu encore) ?

Bien sur qu'on peut.

En soustrayant les 2 premieres équations pour éliminer z, on trouve 2x-2y=0 donc x = y.

Dans la 3 ieme, ça donne (1+a)x + 2z = 0

qui a des solutions autres que x=y=z=0 quand ....

-
Edité par michelbillaud 18 décembre 2017 à 17:27:00

j'ai pas compris (je cherche a tel que l'application ne soit pas isomorphe)

  si tu ne connais pas les déterminants, résoudre le système comme le propose michelbillaud aboutit facilement.

Ayant obtenu \(x=y\) et \((1+a)x+2z=0\), tu reportes dans  une des deux premières équations , par exemple \(6x+3y+z=0\) ce qui te donne en gardant \(x\) :

\(9x -(1+a)x/2 =0\).Soit \((17-a)x=0\).

Pour que la solution ne soit pas la solution triviale  \(x=y=z=0\) on doit donc avoir \(a=17\).
On vérifie sans surprise que le déterminant est bien nul pour cette valeur de \(a\).

-
Edité par Sennacherib 18 décembre 2017 à 19:41:18

ah j'ai compris merci de votre patience

oups, j'ai bouffé des étapes.

-
Edité par michelbillaud 19 décembre 2017 à 10:20:14