bonjour la famillia

un profond problème de compréhension::une solution au pire une indication

monter que l'équation Z^4+5Z^2+5=0 Z appartenant à C  admet pour solution Wk-Wk^4  avec Wk=exp((i2kπ)/5)

merci bien

bah; tu as essayé de remplacer Z par Wk-Wk^4 ? 

Comme ça, je dirais que la seul difficulté consiste à bien développer la puissance 4 du z^4; mais sinon; c'est purement calculatoire. 

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Edité par edouard22 13 janvier 2019 à 22:33:00

Bonjour ! 

A priori on ne te demande que de vérifier que les nombres qu'on te donne sont solutions de l'équation, pas qu'elles sont les seules solutions ou d'en trouver d'autres. Il suffit donc de faire le calcul pour le vérifier.

Est ce que tu connais les propriétés de la fonction exponentielle complexe ? 

Essayes de les utiliser ; )

l'équation est un polynôme de degré 4 donc elle  a au plus quatre solutions distinctes  complexes ou réelles .

On demande donc de vérifier que \(W_k-W_k^4, \; k=1,2,3,4\) sont ces 4 solutions ... ce qui par la force brute conduit à des calculs extrêmement bourrins!

Je pense qu'il y a mieux à faire

Remarquons d'abord par un calcul évident  que \(W_k-W_k^4 =e^{2ik\pi /5}-e^{-2ik\pi /5}\) 

Par ailleurs l'équation \(Z^4+5Z^2+5=0\) est une équation du second degré en la variable  \(Z^2\) et on trouve les deux solutions \(Z^2=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\) et \(Z^2=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\) 

Il suffit de vérifier que \((e^{2ik\pi /5}-e^{-2ik\pi /5})^2\) prend les valeurs précédentes.

Or, \((e^{2ik\pi /5}-e^{-2ik\pi /5})^2=e^{4ik\pi /5}+e^{-4ik\pi /5}-2=2(\cos(4k\pi/5)-1)\)

Là on sait calculer les valeurs exactes de ces cosinus en utilisant les racines 5ème de l'unité . (... je renvoie   aux bons ouvrages, c'est un exercice classique )

On pourra vérifier que on se ramène selon les valeurs de k, à deux situations demandant le calcul de \(\cos(2\pi/5)=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\) et \(\cos(4\pi/5)=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\)

donc finalement 

\(2(\cos(2\pi/5)-1)=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\) et \(2(\cos(4\pi/5)-1)=\frac{-5-\sqrt{5}}{2}\) qui sont bien les deux valeurs de \(Z^2\) solutions.

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Edité par Sennacherib 14 janvier 2019 à 16:44:51

merci beaucoup dit comme ça c'est assez clair!!

et au fait comment fais-tu pour éditer aussi clairement tes équation à ce format?

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Edité par NapoléonMbaya 23 janvier 2019 à 17:20:00

Comment écrire des formules mathématiques ?

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