Bonjour,

En physique, je fais la mécanique de Newton (niveau TS) et j'étudie en ce moment les frottements, et il se trouve que dans le cas de frottements turbulents il y a une notion non-vue en TS c'est la résolution de cette équation : <math>\(y'=ay^2+b\)</math>.
Je sais la "résoudre" avec la méthode d'Euler, mais j'aimerais savoir s'il existait une résolution "simple" à cette équation.

Merci d'avance.

Ce sont des équations de riccati : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Riccati
Celle-ci est très simple (tes fonctions sont des constantes, voir nulle pour l'une d'elle, et tu es dans le corps des réels), donc il existe surement une méthode pour résoudre, mais je ne m'en souviens plus et plutôt que de dire une bétise, je laisse les autres le faire à ma place.

Je crois que j'ai une solution particulière .
La fonction inverse biensûr !
Je travaille ça chez moi et je t'en reparle .

Bonjour

C'est effectivement une équation de Riccati. Si <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> sont bien des constantes, comme la fonction constante égale à <math>\(c=\sqrt{-b/a}\)</math> est une solution particulière de ton équation différentielle, cela permet de te ramener à une équation de Bernoulli en posant <math>\(y=w+c\)</math>

<math>\(w'=aw^2+2acw\)</math>

Cette équation de Bernoulli se ramène alors à une équation différentielle linéaire en divisant par <math>\(w^2\)</math> et en posant <math>\(v=1/w\)</math>

<math>\(v'+2acv=-a\)</math>

<math>\(v\)</math> est alors de la forme <math>\(v(x)=-\frac{1}{2c}+\alpha e^{-2acx}\)</math> où <math>\(\alpha\)</math> est une constante. Par conséquent

<math>\(y(x)=c+\frac{1}{-\frac{1}{2c} + \alpha e^{-2acx}}\)</math>

Tout ce qui est question de nullité a été éludé, fais-y attention quand tu résous l'équation différentielle.

Si tu veux un petit résumé sur la résolution de diverses équations différentielles du premier ordre, tu peux jeter un petit coup d'œil à celui-ci : http://www.lmm.jussieu.fr/~hoepffner/e [...] 1_equadif.pdf

Bon weekend

Merci, mais étant donné que je travaille dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>, je dois impérativement avoir a et b de signes contraires ?

Je vais essayer de le faire moi-même aussi

Tu peux utiliser la résolution précédente puis chercher les solutions réelles.

Sinon, il y a plus simple, si <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> ont le même signe, tu poses <math>\(c=\sqrt{b/a}\)</math>, tu as alors

<math>\(\frac{ay'}{ay^2+b}=\left(\frac{1}{c}\arctan{\frac{y}{c} \right)',\)</math>

et par conséquent

<math>\(y(x)=c \tan (acx+\alpha)\)</math> avec <math>\(\alpha \in \mathbb{R}.\)</math>

Cette solution est définie sur les intervalles ouverts <math>\(\left] \frac{(k-1/2)\pi-\alpha}{ac},\frac{(k+1/2)\pi-\alpha}{ac}\right[\)</math>, où <math>\(k \in \mathbb{Z}\)</math>, si <math>\(a>0\)</math> ou sur les intervalles ouverts <math>\(\left] \frac{(k+1/2)\pi-\alpha}{ac},\frac{(k-1/2)\pi-\alpha}{ac}\right[\)</math>, où <math>\(k \in \mathbb{Z}\)</math>, si <math>\(a<0\)</math>.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet alors de montrer que pour une condition initiale <math>\(y(x_0)=y_0\)</math>, la solution précédente avec <math>\(\alpha=\arctan \left( \frac{y_0}{c} \right) - ac x_0\)</math> et définie sur l'intervalle ouvert <math>\(\left] \frac{-\pi/2-\alpha}{ac}, \frac{\pi/2-\alpha}{ac}\right[\)</math> si <math>\(a>0\)</math> ou sur l'intervalle ouvert <math>\(\left] \frac{\pi/2-\alpha}{ac}, \frac{-\pi/2-\alpha}{ac}\right[\)</math> si <math>\(a<0\)</math> est la solution maximale.


Tu peux en fait faire de même quand <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> ont des signes opposés, en utilisant l'argument tangente hyperbolique ou l'argument cotangente hyperbolique. Posons <math>\(c=\sqrt{-b/a}\)</math> comme dans le message précédent.

En supposant <math>\(|y|<c\)</math>, tu obtiens

<math>\(y(x)=c \tanh(-acx+\alpha)\)</math> avec <math>\(\alpha \in \mathbb{R}\)</math>.

Cette solution est définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet alors de montrer que pour une condition initiale <math>\(y(x_0)=y_0\)</math> avec <math>\(|y_0|<c\)</math>, la solution précédente avec <math>\(\alpha=\operatorname {artanh} \left( \frac{y_0}{c} \right) + ac x_0\)</math> et définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> est la solution maximale.

En supposant <math>\(|y|>c\)</math>, tu obtiens

<math>\(y(x)=c \coth(-acx+\alpha)=\frac{c}{\tanh(-acx+\alpha)}\)</math> avec <math>\(\alpha \in \mathbb{R}\)</math>.

Cette solution est définie sur les intervalles ouverts <math>\(\left] -\infty, \frac{\alpha}{ac} \right[\)</math> et <math>\(\left] \frac{\alpha}{ac}, +\infty \right[\)</math>.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet alors de montrer que pour une condition initiale <math>\(y(x_0)=y_0\)</math> avec <math>\(|y_0|>c\)</math>, la solution précédente avec <math>\(\alpha=\operatorname {arcoth} \left( \frac{y_0}{c} \right) + ac x_0\)</math> et définie sur l'intervalle ouvert <math>\(\left] -\infty, \frac{\alpha}{ac} \right[\)</math> si <math>\(a y_0>0\)</math> ou sur l'intervalle ouvert <math>\(\left] \frac{\alpha}{ac}, +\infty \right[\)</math> si <math>\(ay_0<0\)</math> est la solution maximale.

Pour une condition initiale <math>\(y(x_0)=y_0\)</math> avec <math>\(y_0=\pm c\)</math>, la solution maximale est bien évidemment la fonction constante <math>\(y=\pm c\)</math> définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>.

J'espère que je ne répète pas de qui a été dis ou ne dis pas une horreur, mais pourquoi ne pas simplement dériver terme a terme et diviser par y'? suivant le signe de a tu aura soit une équation harmonique soit une équation du second ordre banal, dont les solution sont bien plus courantes que les autre proposées. (cherche résulotion d'equa diff du second ordre sur wikipedia, la méthode est de ton niveau)

EDIT : c'était donc une grosse betises (sa aurait marché, si on avait quelque chose du type ay'^2+by=0 ou un autre truc du genre ou les y' se simplifient)

Citation : razzi

mais pourquoi ne pas simplement dériver terme a terme et diviser par y'?

Pas compris.

Citation : razzi

suivant le signe de a tu aura soit une équation harmonique soit une équation du second ordre banal, dont les solution sont bien plus courantes que les autre proposées.

Plus que de Riccati (qu'on ne sait pas toujours résoudre par quadrature), l'équation proposée est une banale équation différentielle à variables séparables et donc la méthode de résolution est toute tracée (c'est ce qu'a fait Sulley ci-dessus).

Oui, en réfléchissant un peu la méthode pour a et b de signes opposés n'est pas si dure qu'elle n'y paraît.
Mais lorsque a et b sont de même signe je dois t'avouer que je n'ai pas vu le théorème de Cauchy, et que je n'ai jamais vraiment étudié la fonction arctangeante.
De toute manière je verrai ça en temps et en heure, et puis dans l'équation a et b sont de signes différents, alors ça tombe bien.

razzi : si tu dérives, tu obtiens ceci :

<math>\(y'' = 2ayy'\)</math>

Je ne vois pas bien où tu peux diviser par <math>\(y'\)</math> .