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Equation différentielle avec abs en second membre

Sujet résolu
    30 mai 2020 à 15:22:52

    Bonjour à tous,

    Je travaille sur un projet en science et je me dois de résoudre une équation différentielle sous la forme : ay'+y = b|sin x|...

    J'ai trouvé comme dérivée pour |sin x| : sin x / | sin x | * cos = sgn(sin x) * cos x, où sgn(sin x) renvoie le signe de sin x, il y a peut être plus simple mais en tout cas je n'ai pas trouvé.

    J'ai poursuivit avec yo = alpha*|cos x| + bêta*|sin x|; mais je me retrouve avec une énorme fonction ou le coef alpha varie selon le signe de sin x et cos x, bref j'ai essayé pas mal de chose mais je ne trouve toujours pas de solution, si vous en avez une n'hésitez pas ;)

    Bonne journée.

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      30 mai 2020 à 15:47:17

      Une approche peut éventuellement de différentier selon que tu es sur un intervalle où \(\sin(x)\) est positif ou négatif. Dans un cas, \(|\sin(x)| = \sin(x)\), et dans l'autre \(|\sin(x)| = -\sin(x)\), puis tu fais le raccord.
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      Avez-vous entendu parler de Julia ? Laissez-vous tenter ...

        30 mai 2020 à 16:12:32

        C'est une super idée, mais j'ai déjà essayé et les coefs varient en fonction de x et la dérivée se modifie par conséquent c'est un cercle infini

        Je me retrouve avec yo = alpha*cos x + bêta*sin x

        avec quand sin > 0:

        alpha = -b/2; bêta = b/2

        quand sin < 0:

        alpha = b/2; bêta = -b/2

        -
        Edité par Yolo974 30 mai 2020 à 16:14:25

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          30 mai 2020 à 17:44:48

          Donc tu as trouvé quelque chose ! La solution particulière est une fonction qui s'écrit avec deux formules, ça arrive.

          Question : cette équation différentielle, il faut la résoudre dans R ou dans un intervalle plus petit ?

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            30 mai 2020 à 18:00:42

            Ah d'accord ! Veuillez m'excuser je ne suis qu'en première, je ne suis donc pas très expérimenté en ce qui concerne les équations différentielles,

            Et il fallait la résoudre dans R mais par curiosité, qu'est ce que ça aurait changé dans un intervalle/ensemble plus petit ?

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              30 mai 2020 à 21:41:56

              Tu fais des équations différentielles en première ? Effectivement, au lycée on décrit toujours les fonctions par une seule formule, mais après le lycée il est assez courant de manipuler des fonctions qui sont données par plusieurs formules selon l'intervalle (souvent, quand on les étudie, on doit regarder si ça se raccorde).

              par curiosité, qu'est ce que ça aurait changé dans un intervalle/ensemble plus petit ?

              Ça aurait simplifié les écritures. Ici tu vois qu'il y a deux cas selon que sin x > 0 ou sin x < 0. Mais il faudrait écrire ces cas en fonction de x, et sur R c'est compliqué : le premier cas correspond à x appartient aux intervalles de la forme ]2kπ, (2k+1)π[ et le second cas correspond à x appartient aux intervalles de la forme ](2k-1)π, 2kπ[, du moins si je ne me suis pas trompé.

              Mais si par exemple il fallait étudier l'équation différentielle sur ]-π,π[, on aurait juste à écrire deux cas : x > 0 où x < 0.

              -
              Edité par robun 30 mai 2020 à 21:42:57

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                1 juin 2020 à 12:11:30

                Je ne suis pas certains que ce soit si compliqué. La solution y est continue, et périodique donc il suffit de regarder la solution sur ([-\pi, 0]) puis ([0,\pi]) et de recoller les morceaux comme le dit Robun.

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                Avez-vous entendu parler de Julia ? Laissez-vous tenter ...

                  1 juin 2020 à 12:53:40

                  D'accord merci pour vos réponses elle m'ont beaucoup aidée et je pense que je vais réussir à me débrouiller avec ce que j'ai obtenu,

                  Bonne journée a tous et merci encore.

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                  Equation différentielle avec abs en second membre

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