Bonjour à tous !

Dans une de mes désespérées recherches pour montrer que \(\{a+b\pi|(a,b)\in\mathbb{Z}^2\}\cap\mathbb{R}_+^*\) admet \(0\) comme borne inférieure, je tombe sur une équation dont je n'arrive pas à déterminer les solutions. Etant donné que je ne pense pas que MathJax inclue les packages nécessaires aux symboles en question on notera la fonction partie entière \(E\), et \(\varepsilon\) une constante donnée strictement positive, pas forcément entière.

Je tombe donc sur l'équation suivante :

\[a = E\left(\varepsilon+\pi E\left(\frac{a}{\pi}\right)\right)\]

Le problème est -mis à part qu'il y a à priori plusieurs solutions alors que je suis censé n'en trouver qu'une - que je n'ai aucune idée de comment résoudre cette équation. J'ai essayé de revenir à la définition de la partie entière, mais ça devient vite très lourd, et la partie entière à l'intérieur ajoute son piquant également.

Auriez-vous des pistes à me proposer ?

Merci d'avance.

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Edité par BunshinKage 31 décembre 2015 à 12:15:26

Je n'ai pas cherché à résoudre ton équation avec parties entières, mais directement ce que tu dois démontrer.

Puisque \(\pi\) est irrationnel, tu sais qu'il n'existe pas de paire de nombres naturels \((p,q)\in\mathbb N^2\) tels que \(\frac pq=\pi\). Mais tu sais que si une paire de nombres naturels \((p,q)\) est telle que \(\pi < \frac pq\), il existe toujours une autre paire de nombres naturels \((p',q')\) telle que \(\pi < \frac {p'}{q'} < \frac pq\). Autrement dit, à toute approximation rationnelle de \(\pi\) existe une autre approximation rationnelle qui est meilleure. Ainsi donc, pour tout nombre \(\varepsilon > 0\) (\(\varepsilon \in \mathbb R_+^*\)), on peut trouver une paire de nombre naturels \((p,q)\) tels que \(\pi < \frac pq < \pi+\varepsilon\), autrement dit \(0 < \frac pq - \pi < \varepsilon\) ou encore \(0 < p - \pi\,q < \varepsilon\,q\). En d'autres termes, en posant \(a=p\) et \(b=-q\), on a prouvé que 0 est la borne inférieure de \(\{a+b\,\pi>0|(a,b)\in\mathbb Z^2\}\). C'est donc la borne inférieure de \(\{a+b\pi|(a,b)\in\mathbb Z^2\}\cap\mathbb R_+^*\).

Me Capello a écrit:

Je n'ai pas cherché à résoudre ton équation avec parties entières, mais directement ce que tu dois démontrer.

Puisque \(\pi\) est irrationnel, tu sais qu'il n'existe pas de paire de nombres naturels \((p,q)\in\mathbb N^2\) tels que \(\frac pq=\pi\). Mais tu sais que si une paire de nombres naturels \((p,q)\) est telle que \(\pi < \frac pq\), il existe toujours une autre paire de nombres naturels \((p',q')\) telle que \(\pi < \frac {p'}{q'} < \frac pq\). Autrement dit, à toute approximation rationnelle de \(\pi\) existe une autre approximation rationnelle qui est meilleure. Ainsi donc, pour tout nombre \(\varepsilon > 0\) (\(\varepsilon \in \mathbb R_+^*\)), on peut trouver une paire de nombre naturels \((p,q)\) tels que \(\pi < \frac pq < \pi+\varepsilon\), autrement dit \(0 < \frac pq - \pi < \varepsilon\) ou encore \(0 < p - \pi\,q < \varepsilon\,q\). En d'autres termes, en posant \(a=p\) et \(b=-q\), on a prouvé que 0 est la borne inférieure de \(\{a+b\,\pi>0|(a,b)\in\mathbb Z^2\}\). C'est donc la borne inférieure de \(\{a+b\pi|(a,b)\in\mathbb Z^2\}\cap\mathbb R_+^*\).

Ca fait trois jours que je suis sur cette question, et en fait, en utilisant la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\), c'est presque immédiat...

Merci beaucoup !

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Edité par BunshinKage 31 décembre 2015 à 14:06:39

Le fait que \(\pi\) soit irrationnel implique seulement que \(0 < p - \pi\,q\). Avec un nombre rationnel \(k\in \mathbb Q\), on aurait seulement une inégalité large au lieu d'une inégalité stricte (\(0 \le p - k\,q\)), mais ça ne change rien à la résolution du problème.

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Edité par Me Capello 31 décembre 2015 à 14:17:30

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi E(nE(x)) = n E(x), j'ai entendu parlé de règle de suppression de parties entières intérieurs mais je n'ai pas compris comment je peux appliquer cette règle.

Je vous en remercie d'avance

Si n est un entier, n * E(x) est le produit de 2 entiers, c'est donc un entier. 

Et la partie entière d'un entier, c'est cet entier lui-même.  CQFD.

Je ne connais pas cette règle de suppression des parties entières intérieures, mais pas besoin de règle compliquée pour conclure ici.