Bonjour,

J'étudie la géométrie analytique et je me pose les questions suivantes:

1/ Combien existe t'il de catégorie d'objet, je connais les objets coniques (ellipse, cercle, parabole, hyperbole) qu'elles sont les autres?

2/ Quel est la différence d'utilisation entre une équation cartésienne et paramétrique?

3/ Une équation caractéristique admet toujours une représentation paramétrique?

4/ A partir d'une représentation paramétrique on peut toujours réobtenir l'équation cartésienne?

Merci d'avance

on ne peut pas répondre de façon générale à la question 1 , la catégorie de courbes ( dans le plan)   la plus étudiée étant sans doute celles des courbes algébriques qui sont définies par une équation du type \(f(x,y)=0\), où \(f\) est une fonction polynomiale  des deux variables . Les coniques sont les courbes algébriques les plus simples ( après la droite évidemment), de degré 2. Le degré de la courbe est le degré du polynôme à deux variables.  Ces courbes peuvent former un ensemble connexe ou pas ( dés le degré 2, l'hyperbole est non connexe). Un sous-ensemble remarquable largement étudié est celui de courbes elliptiques qui sont une sous-famille  des courbes de degré 3. ( malgré son nom, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique ! ) . A noter que les courbes elliptiques ont des applications importantes en cryptographie. Elles ont joué aussi un rôle décisif dans la fameuse démonstration du théorème de Fermat par Wiles après plus de 350 ans d’insuccès !

Il y a un  théorème qui permet d'encadrer le nombre de composantes connexes d'une courbe algébrique selon son degré.

Sinon, avec des équations arbitraires limitées à des courbes continues dérivables , on peut déjà obtenir un peu "n'importe quoi"  . Voir deux exemples au hasard que j'ai tracés sous Géogébra ( celle de gauche a une équation cartésienne , celle de droite une équation paramétrique ...j les équations sont sans intérêt  mais ceci montre que, dans le cas général, on peut se douter que le passage cartésien-paramétrique , s'il existe , est impossible de façon explicite .
Sans imposition sur la dérivabilité, on peut obtenir des choses encore plus étranges ( cf, par exemple la courbe de Peano qui permet de définir un paramétrage sur (0,1) d'une courbe passant par tous les points du carré (0,1)x(0,1) du plan !

2-  pour l'utilisation d'une forme ou d'une autre, cela dépend de l'utilisation que on veut en faire , il est difficile de donner une réponse générale. Par exemple, en physique, si le paramètre correspond à une grandeur physique évidente, souvent le temps,  la représentation paramétrique s'impose si on cherche à étudier en cinématique la position d'un mobile .  Mais on peut rechercher aussi l'équation globale  de la trajectoire qui sera une équation cartésienne après élimination du paramètre temps.
Une raison pratique pour préférer une utilisation peut être  que une forme soit  plus simple à obtenir selon la nature du problème. En pratique aussi , une forme paramétrique est immédiate   pour tracer point par point la courbe alors que trouver les coordonnées même numériquement à partir de la forme cartésienne peut s'avérer fort laborieux, y compris pour une simple conique donné sous sa forme la plus générale. .

3- Le passage d'une forme à l'autre  peut s'avérer extrêmement compliqué ou impossible explicitement selon les expressions, même lorsque l'existence théorique est prouvée   . Passer de l'expression paramétrique à celle cartésienne revient à éliminer le paramètre entre deux équations ce qui n'est simple que dans des cas particuliers où les coniques sont l'exemple le plus élémentaire . Pour le passage inverse,    une représentation paramétrique d'une même courbe n'est pas unique   et trouver une représentation telle que x=f(t) et y=g(t) est rarement trivial pour une équation cartésienne compliquée.  

4-  Localement, cette représentation existe si les conditions du théorème des fonctions implicites sont  vérifiées. En effet un paramétrage  de f(x,y) = 0  peut s'obtenir en prenant pour paramètre une des variables ce qui revient à rechercher la forme paramétrique  (x=t , y=g(t)) telle que f(t,g(t))=0. Mais ceci n'est évidemment qu'une condition suffisante : le simple exemple du cercle montre que il faut deux équations pour définir un  cercle complet de cette façon \(x=t, y=\sqrt{a^2-t^2}, -a \leq t \leq a\) et  \(x=t, y=-\sqrt{a^2-t^2},-a<t<a\)  alors que une équation paramétrique usuelle et évidente  sur tout le plan est bien sûr \(x=a\cos t, y=a\sin t\) 

en conclusion, si tu veux explorer un nombre  impressionnant  de courbes 2D et 3D explicitées  avec leurs équations cartésiennes et/ou  paramétriques et/ ou polaires ,  ce site est remarquable!

http://www.mathcurve.com/index.htm 

-
Edité par Sennacherib 25 septembre 2018 à 12:09:27