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Équations ensemblistes

Étapes de résolution

    12 octobre 2020 à 11:44:27

    Bonjour, j'espère que vous allez bien.  Voilà ma question : comment résoudre les équations ensemblistes. Par exemple : A union X =C  ; où X est l'ensemble innconu. Est-ce qu'il y a un algorithme ou une suite d'instructions à suivre comme on l'aurait fait avec ax+b=0 ? Bien sûr A union X =C n'est qu' un exemple parmi d'autres qui peuvent tout de suite se compliquer (on peut imaginer des systèmes de ce type d'équations).

    Je vous remercie pour votre compréhension et votre aide bien précieuse par avance. 

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      12 octobre 2020 à 19:26:00

      Bonjour ! Ça dépend comment les ensembles sont définis.

      Si c'est une question abstraite, avec A et C deux ensembles quelconques, je ferais un dessin pour chaque cas possibles :

      • A est inclus dans C ;
      • C est inclus dans A ;
      • A et C ont une intersection ;
      • A et C sont disjoints ;
      • etc. (?)

      Avec des dessins, je soupçonne que c'est faisable. (Si je suis prof, je mets 0 à tout individu qui n'a pas pensé à faire des dessins.)

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        13 octobre 2020 à 1:34:22

        J'aurais tendance à dire comme robun.
        Il n'y a pas de formule telle que X = C / A
        Tout ce qu'on peut dire est que X est un sous-ensemble de C
        Ça ne nous dit pas si A intersection X est vide ou pas.
        Avec un peu de logique on peut y arriver.
        Si l'intersection a priorité sur l'union, il y a une vague ressemblance entre les opérateurs arithmétiques (* et +), booléens )ET et OU) et ensemblistes.
        Surtout face à la commutativité et la distributivité.
        Je n'ai pas vérifié, mais je pense qu'il y a distributivité dans les deux sens
        (A union B) intersection C = (A intersection C) union (B intersection C) ?
        (A intersection B) union C = (A union C) intersection (B union C) ?
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        Edité par PierrotLeFou 14 octobre 2020 à 7:23:18

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        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

          15 octobre 2020 à 23:11:12

          Désolé mais l'opération d'union n'est pas inversible, d'ailleurs pour tout ensemble G, (G,U) n'est pas un groupe (démonstration en bas).

          Tu ne peux donc pas déduire de résultat de la même manière que pour une équation ax+b=0. C'est à dire en "passant de l'autre côté" ou en appliquant la même opération des deux cotés de l'égalité car ce n'est possible que parce que (R,+) et (R*,x) sont des groupes (enfin plus précisément des magma dont tous les éléments sont inversibles, mais ce sont aussi des groupes).

          Un excellent moyen de "sentir" le résultat est effectivement la méthode graphique, et, si vous ou un prof têtu estimez qu'un graphique n'est pas une preuve suffisante, vous pouvez utiliser la table de vérité d'appartenance d'un élément quelconque aux différents ensemble.

          Je vous conseille fortement d'utiliser des tables de vérité, car c'est une démonstration toujours valable et car, via graphiques, on a envie de répondre que la solution est X = C \ A pas vrai ? Or non, la réponse correcte est X = C\A U (XA), Cela ce voit facilement dans une table de vérité mais pas un graphique (je vous met la table plus bas).

          N'hésitez pas à répondre si vous avez des questions/remarques à propos de mes propos.

          Table de vérité:

          Soit G tq A,C,X ⊂ G et x ∈ G

          Hypothèses:              Déductions:

          ∈ A       x ∈ X          x ∈ AUX = C       x ∈ C\A    x ∈ (C\A U (AX) )

            1              1                      1                      0                 1            

            1              0                      1                      0                 0

            0              1                      1                      1                 1

            0              0                      0                      0                 0

          Démo groupe:

          Soit G, un ensemble quelconque, essayons de montrer que (G,U) est un groupe:
          Associativité, Commutativité(facultative) et LCI évidentes.

          Élément neutre:

          MQ ∀A⊂G, ∃E⊂G tq AUE = A

          ∀A⊂G, AU∅ = A Et de plus, ∅ ⊂ G (propriété de l'ensemble vide) Donc ∅ élément neutre de (G,U) on le notera E.

          Inversibilité(c'est là que ça coince):

          MQ ∀A⊂G, ∃B⊂G tq AUB = E = 

          Soit A, B ⊂ G tq AUB = E = ∅, or A U B = ∅ ssi A = ∅  B = ∅ donc ∀(A)⊂G, A non inversible => (G, U) n'est pas un groupe

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          "Si ce n'est pas dur, ce n'est pas intéressant"

            16 octobre 2020 à 13:24:35

            NiwdEE a écrit:

            Un excellent moyen de "sentir" le résultat est effectivement la méthode graphique, et, si vous ou un prof têtu estimez qu'un graphique n'est pas une preuve suffisante, vous pouvez utiliser la table de vérité d'appartenance d'un élément quelconque aux différents ensemble.

            Je dirais qu'un graphique est un point de départ pour la démonstration rigoureuse. C'est lui qui donne les idées.

            Par exemple si A et C sont disjoints, c'est le dessin qui me montre qu'il est impossible de trouver X. Reste alors à le prouver. Exemple : « Supposons que X existe, alors A union X contient les éléments de A. Si A union X = C, ceci signifie que C contient les éléments de A, ce qui est impossible puisqu'ils sont disjoints. » Personnellement, je n'aurais jamais pensé à raisonner ainsi sans avoir fait le dessin, et je crois que c'est de voir le dessin qui me donne l'idée de la preuve. Le dessin n'est pas une preuve, mais m'est nécessaire pour trouver celle-ci. Si j'étais plus intelligent, peut-être que je m'en passerais ?

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            Edité par robun 16 octobre 2020 à 13:25:06

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              16 octobre 2020 à 13:43:03

              D'où le fait que je dis qu'un dessin permet de "sentir" la réponse mais en l’occurrence, il peut être trompeur, c'est pour cela que ce n'est pas considéré comme une preuve rigoureuse

              robun a écrit:

              Par exemple si A et C sont disjoints, c'est le dessin qui me montre qu'il est impossible de trouver X.

              ???

              A et C ne peuvent pas être disjoints car C est définis en tant qu'union de A et d'un autre ensemble donc C contient au moins A. Comme quoi un dessin ne fait pas tout ^^



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              "Si ce n'est pas dur, ce n'est pas intéressant"

                16 octobre 2020 à 19:24:35

                Tu es sûr d'avoir bien compris le problème ?

                Mettons qu'on cherche à résoudre l'équation \( a x = 10 \) où \( a \) est un nombre réel. Je prétends que si \( a \) est nul, il n'existe pas de solution. Vas-tu me rétorquer que \( a \) ne peut pas être nul puisque \( a \) multiplié par \( x \) doit faire 10 ?

                (C n'est absolument pas défini comme la réunion de A avec un autre ensemble. C est juste un ensemble quelconque. Tout comme A. Il faut donc examiner − entre autres − le cas où A et C sont disjoints.)

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                Edité par robun 17 octobre 2020 à 0:18:49

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                  18 octobre 2020 à 12:13:17

                  Effectivement, je viens de bien tout relire et je me rend compte que j'ai mal interprété le problème. Mais de toute façon cela ne remet pas en cause mon raisonnement, surtout que nos avis vont quasiment dans le même sens. 

                  Je reconnais également que j'ai omis de préciser, dans ma table de vérité, que la valeur obtenue de X n'est vraie que si A U X = C. Dans le cas où ∃ x ∈ A | x ∉ C, il est évident que l'équation n'as pas de solution.

                  -
                  Edité par NiwdEE 18 octobre 2020 à 12:15:56

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                  "Si ce n'est pas dur, ce n'est pas intéressant"

                    18 octobre 2020 à 15:27:16

                    Ah mais j'étais tout à fait d'accord avec toi ! :) Tu disais qu'un graphique n'est pas une preuve et j'étais intervenu pour préciser qu'il était néanmoins utile pour la construire.

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                    Edité par robun 18 octobre 2020 à 15:27:50

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                      Il y a environ 3 heures

                      Bonsoir, 

                      Tout d'abord veuillez bien m'excuser de pas avoir répondu tout de suite alors que vous avez fourni un grand effort pour y répondre. Et bien je commence à assimiler la démarche voir à la maitriser dans un certain sens.

                      Merci encore une fois et bonne soirée !

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