Bonjour,

Voici un exercice que nous devons faire:

Citation

On considère l'espace vectoriel réel <math>\(\mathbb{R}^2\)</math>,et on appelle <math>\(\vec{i}= (1,0) et \vec{j}=(0,1)\)</math>.On considère les vecteurs <math>\(\vec{I}= (m-3)\vec{i}+m\vec{j}\)</math> et <math>\(\vec{J}=(m+1)\vec{i}-\vec{j}\)</math>où m est un paramètre de <math>\(\mathbb{R}\)</math>.
Etudier pour quelles valeurs de m la famille {I,J} forme une base de R²

Je ne sais pas du tout comment démarrer.J'ai essayé le pivot de Gauss,avec i et j et en multipliant ensuite par m-3 et m(pour I).
Mais je ne vois pas ce qu'il vaut faire ensuite.
Peut-être avez-vous une idée,sans pour autant donner la solution.

Merci

Ben tu as deux vecteurs dans un espace de dimension 2, tu n'as donc qu'à voir à quelle condition tes vecteurs I, J sont libres ou non : aI+bJ=O va te donner en projetant sur i,j deux équations à deux inconnues (a,b), le nombre de solution de ton systèmes dépendra de m, ton but est de trouver m, tel que seule la solution triviale soit solution.

Sinon si jamais tu connais la notion de déterminant, tu calcules en fonction de m le déterminant de tes deux vecteurs, et tu vois à quelle condition il ne s'annule pas (ça revient au même, mais en plus court)

hum,hum...J'ai pas tout à fait compris:
En faisant aI+bJ=0,on cherche pour quelles valeurs de a et b,les vecteurs I et J sont libres?
Comment retrouve-t-on les deux équations après avoir posé aI+bJ=0? Faut-il remplacé I et J par leurs équations respectives?!

Oui on remplace I et J par leur définition, puis après on a une équation vectoriel en i,j qui est une famille libre, donc si tu as a'i +b'j=0 nécessairement a'=b'=0, ça te fais deux équations à deux inconnus en a et b, tu peux donc voir pour quelle valeur de m tu as une solution non triviale (ie les vecteurs I,J ne sont pas libres)

Gaby si tu suivais un peu en cours au lieu d'embeter celui qui est devant toi, tu saurais faire cet exercice sans problème =°

Euh,je vous connais?

Merci pour les explications LO1C.

Mouais, en fait je viens de voir que y avait beaucoup plus simple, en remarquant que I ne s'annulait jamais, suffisait de résoudre J=aI, ce qui te donne deux équations à deux inconnues.

plus simple encore tes deux vecteurs forment une base de R² à la condition qu'ils ne soient pas colinéaire, d'après la définition de la colinéarité que tu as vu en ... seconde (?)
deux vecteurs u(x;y) et v(X;Y) sont colinéaires ssi xY - yX = 0
ce qui nous donne ici -(m-3)-m(m+1) = 0
càd -m² -2m +3 = 0 sont solution 1 et - 3
donc les seules valeurs de m pour lesquelles nos deux vecteurs ne sont pas un base de R² sont m = 1 et m = -3
..... mais tu aurais pu demander à la classe aujourd'hui.

Citation : Absentaubataillon

plus simple encore tes deux vecteurs forment une base de R² à la condition qu'ils ne soient pas colinéaire, d'après la définition de la colinéarité que tu as vu en ... seconde (?)
deux vecteurs u(x;y) et v(X;Y) sont colinéaires ssi xY - yX = 0

Cette méthode a été signalée au post n°2.