Bonjour,

les modules sont sur les anneaux ce que les espace vectoriels sont pour les corps.

Donc j'aimerais savoir si il y a une raison pour laquelle on definit la notion de module à droite et modules à gauche, alors que l'on ne definit pas la notion d'espace vectoriel à droite(en tout cas on ne mentionne pas sur wiki et j'en ai jamais entendu parlé).

voilà en éspérant que vous comprenez la question.

edit: bon je crois que je viens de comprendre. la notion de multiplication à droite n'a vraiment que d'interêt si la multiplication n'est pas commutative, et les corps non commutatifs sont suffisament rare pour qu'on n'éprouve pas le besoin de definir espace vectoriel à droite. C'est ça?

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Edité par poipoi34 5 décembre 2018 à 11:31:31

Bonjour,

Je pense simplement que tu donnes trop d'importance à la citation "les modules sont sur les anneaux ce que les espace vectoriels sont pour les corps".

Ce que tu appelles "espace vectoriel à droite (ou gauche) sur un corps non commutatif" se dirait en mathématiques françaises : "module à droite (ou gauche) sur un anneau à division (ou corps gauche)".

En fait, en France (contrairement aux pays anglosaxons), le plus souvent, on exige, dans la définition de corps, la commutativité de la multiplication. Sans l'axiome de commutatitivité, comme je l'ai mis plus haut, on appelle ça un anneau à division ou aussi corps gauche.

Et effectivement, l'ensemble des quaternions est bien un corps gauche. Donc s'il te vient l'envie de regarder voir l'ensemble des quaternions comme un module sur les quaternions, et bien tu auras un joli exemple d'"espace vectoriel gauche" !

Donc la notion d'"espace vectoriel gauche ou droite" existe belle et bien, c'est simplement qu'on n'emploie par ces termes pour le désigner car effectivement, on n'utilise pas très souvent les corps gauches.

d'accord, merci pour ta réponse sylpro!