N'ayant pas eu le temps de voir ce chapitre durant mes cours de math, en ayant besoin pour mes maths fortes de l'année prochaine, et étant passionné par le sujet, je m’intéresse beaucoup à la statistique.
J'ai donc commencé par m’intéresser aux bases de celle-ci, avec les concepts de base. Dans beaucoup de formules, je tombe sur \(l’espérance de X\). Je parcours donc Wikipédia pour tenter de cerner le sujet.
Citation: En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note et se lit « espérance de X ».
En lisant cette première phrase, il me viens à l’esprit que est semblable, sinon très proche de la moyenne de X. Je poursuis ma lecture.
Citation: Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur.
Ici, on me dit que ce n'est pas la moyenne, mais la moyenne pondérée. Soit\(\frac{\sum{a*v}}{\sum{a}}\) ou a est la probabilité d'apparition. Par logique, il me semble, \(\sum{a}=1\), donc que, si le nombre de valeur est fini, alors= \(\sum{a*v}\).
très bien. Maintenant, imaginons que mes données sont les suiventes:
data = {0.5,0.2,0.5,0.4,0.3,0.2}
Alors, = \(\frac{1}{3}*0.5+\frac{1}{3}*0.2+\frac{1}{6}*0.4+\frac{1}{6}*0.3\) soit = \(0.35\).
Si je fais une simple moyenne, j'ai ... 0.35.
J'ai du mal à comprendre la différence.
Merci
- Edité par Bhasher 14 juillet 2018 à 23:52:19
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Si tu veux une analogie, l'espérance peut-être reliée au centre de masse dans un solide. Tandis que la variance (autre donnée souvent utilisée en stat est ton inertie, c'est à dire une valeur qui donne l'étalement de tes données). En effet l'espérance est bien la somme pondérée des proba par la valeur de la variable aléatoire, c'est sa définition. Ce n'est pas vraiment qu'une question de définition comme expliquer dans le commentaire précédent, dans certains cas en traitement du signal, on travaille avec des signaux "bizarres" dans lesquels l'espérance n'est pas égale à une moyenne. Pourquoi? Parce que ce sont 2 concepts différents : une espérance se calcule sur plusieurs réalisations, tandis que la moyenne sur une seule à différents temps. Et les signaux sont généralement exprimer comme X(t), c'est-à-dire une variable aléatoire qui dépend du temps. Si tu veux en savoir plus, tu peux essayer de regarder les pages internet sur l'ergodicité, qui est une propriété qui affirme que la moyenne et l'espérance sont égales, mais à certaine condition. Un exemple : X(t) = U, avec U variable aléatoire qui vaut 1 ou -1 avec p = 0.5 (lancer une pièce par exemple). L'espérance vaut 0, mais la moyenne est aussi une variable aléatoire!
Comme tu le vois, il faut déja aller loin dans la théorie pour trouver un cas qui ne fonctionne pas, mais ça existe. Dans le cas d'une seule variable aléatoire étudiée, la moyenne tend vers l'espérance, lorsque le temps d'étude tend vers l'infini. La seul chose à ne pas oublier est que la moyenne est quelque chose d'expériemental, qui peut parfois s'éloigner très loin de l'espérance...
L'espérance est liée au domaine des probabilités, la moyenne à celui des statistiques. Grossièrement, on pourrait dire que les probabilités on les fait avant de faire l'expérience et les statistiques après. Ainsi, l'espérance, serait le résultat qu'on est censé obtenir en moyenne après avoir fait l'expérience (voir les exemples de @tbc82).
Dans la majorité des cas, on a bien cette convergence. Tu dois bien comprendre que la moyenne est une approximation de l'espérance, comme nous l'avons déja expliqué dans les commentaires précédents. Pour la variance, c'est la même chose! sa définition est la première formule(celle de gauche) mais expérimentalement, on utilise celle de droite pour approximer la variance, exactement de la même manière que pour la moyenne avec l'espérance. cette approximation est souvent dénommée s. Cette approximation tend vers sigma lorsque le nombre d'expérience tend vers l'infini.
Pour moyenne vs Espérance, on a 2 mots différents. Le concept est simple, le cas est fréquent, ça valait la peine d'utiliser 2 mots différents.
Pour la variance, on a en gros la variance théorique (formule de gauche), et la variance expérimentale (formule de droite)... mais on n'a pas pris la peine de définir 2 mots différents. Parce que le concept est un peu moins simple, et qu'on s'intéresse moins souvent à la variance qu'à la moyenne.
L'autre question, c'était : l'écart-type est défini comme la racine carrée de l'espérance mathématique de (X−E[X])2
Pourquoi ici on ne parle pas de moyenne ?
C'est la même logique qu'au début : quand on s'appuie sur les données constatées (donc sur un échantillon), on emploie le mot moyenne. Et quand on s'appuie sur la répartition théorique de la population, on emploie le mot espérance.
Si je m'intéresse au résultat d'un dé, pas besoin de faire d'expérience, je peux calculer une espérance et une variance (théorique, formule de gauche).
Si je lance mon dé 10 fois ou 100 fois, je peux calculer une moyenne et une variance (expérimentale, formule de droite)
Utiliser la formule de gauche ou la formule de droite, en général, tu n'as pas la possibilité de choisir.
Soit on te donne une série de données, et dans ce cas, tu n'as pas le choix, tu utilises la formule de droite.
Soit tu as besoin d'étudier une certaine fonction, et pour cette fonction, tu ne connais que la répartition théorique, et donc, tu dois utiliser la formule de gauche.
Soit, dernier cas, tu as à ta disposition l'expression théorique, et un jeu de données, mais dans ce cas, ce qu'on va te demander, c'est d'utiliser les 2 formules, et de commenter pourquoi les résultats sont différents.
Espérance mathématique
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