Bonjour,

J'ai lu quelque part que Pi avait un nombre soit disant illimite apres sa virgule. Jusque la je suis d'accord.
Le soucie est que je viens de tomber sur cette representation de Pi :

Corrigez moi si je me trompe (c'est vous les experts), mais si je comprend bien.
QUESTION 1 : Pi est represente par la ligne rouge ?

Cette ligne est bien finit .... donc Pi est finit !
En effet, dire que Pi n'a pas de fin reviendrait a dire que cette ligne rouge n'a pas de fin.

==> Pour me petit cerveau c'est completement absurde (J'ai l'impression qu'il y a une couille quelque part*).

En effet, si sur la representation la ligne rouge n'a pas de fin, je n'ose imaginer ce que cela donner si on essayer de representer la meme chose d'une sphere.

--> un cercle sur un repere cartésien planaire ca donne ca (Pi : 3,141 592 653 589 793)
--> que donnerez une sphere sur un repere cartésien tridimensionnel (Est ce qu'il existe un truc representant ca?)
--> que donnerez une boule sur un repere a 4 dimensions (Est ce qu'il existe un truc representant ca?)

* d'ailleurs ce n'est pas seulement avec Pi, mais c'est avec tout les nombres a vigules infinie
ex: j'ai un morceau de pain qui fait 100 qql et je decide de le couper en 3 parts egale. Si l'on s'y prend bien, les 3 parts ont une longeur finit identique et non 33.33333333 ... j'ai l'impression que le modele de calcule des maths que l'on connait est incomplet. Car pour moi si on prend un nombre finit et que on le divise par un nombre finit ... on doit obtenir un nombre finit.

Encore une fois je n'y connais rien et c'est vous les expert (et je suis sur de raconter n'importe quoi), mais j'ai l'impression que le model de calcul n'est pas correct. Et qu'il est possible qu'un jour tout ca soit remise en cause pour un systeme ou 100 divise par 3 donnera un nombre finit.

Je suis tombe sur cet article:

https://sciencetonnante.wordpress.com/2012/02/20/0-999999-le-nombre-qui-nexiste-pas-vraiment/

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Edité par Scion 20 juin 2017 à 7:53:17

Ce n'est pas Pi qui est infini mais le nombre de décimales de Pi qui est soupçonné (on ne peut jamais en être sur) de l'être.

On c'est depuis longtemps et selon la précision que tu veux pour tes calculs tu utilises une valeur approchée plus ou moins grande.

Par exemple, tu peux soit juste utiliser 3,14 soit 3,141 592 653 589 793 dans le second cas ton calcul sera plus précis, mais il ne sera pas encore complètement exact.

J'avais vu quelque part qu'un un moment dans les décimales de Pi ils pensaient pouvoir dit qu'il était fini parce qu'ils ont trouvé 6 fois 9 à la suite, et espéraient mais ils ont retrouvé d'autres chiffres après.

EuphrasieEuph a écrit:

Ce n'est pas Pi qui est infini mais le nombre de décimales de Pi qui est soupçonné (on ne peut jamais en être sur) de l'être.

O 

mais si on est sûr....

tout nombre irrationnel a fortiori transcendant comme \(\pi\) a un développement décimal infini qui ne se répéte pas.

Un nombre rationnel peut avoir un nombre infini de décimales ou pas . Si il a un nombre infini de décimales, c'est obligatoirement selon un cycle qui se répète.

 On démontre que si un nombre a un développement décimal qui se termine ou est périodique, il est nécessairement égal au rapport de deux entiers donc rationnel.

La démonstration qu'un nombre est irrationnel, encore plus transcendant n'est pas toujours triviale.

Montrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel est facile. Montrer que \(\pi\) ou \(e\) sont  irrationnels transcendants est moins trivial, mais c'est fait depuis longtemps.  Par contre il reste encore de nombreux problèmes ouverts   sur la nature de certains nombres. Par exemple on conjecture que \(\pi +e\) est irrationnel mais la preuve n'est pas établie .

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Edité par Sennacherib 20 juin 2017 à 9:49:49

Juste pour être bien clair au sujet de l'infini :

─ Quand on effectue la division 1/3 à la main (comme à l'école primaire), on voit que les décimales ne s'arrêtent jamais : 0,333333333... On dit alors qu'il y a une infinité de décimales.

─ Tous les nombres sont finis (par définition) : ils représentent une longueur finie (1/3 représente le tiers de l'unité, π représente la circonférence d'un cercle de diamètre 1) ou un dénombrement fini (7 représente le nombre de jours de la semaine). Ce qui est infini, ce n'est donc pas le nombre, mais ses décimales (dans une base donnée).

Au passage, il faut éviter de dire que le nombre de décimales est infini, puisque ce n'est pas un nombre. Disons plutôt qu'il y a une infinité de décimales, expression qui signifie qu'elles ne s'arrêtent jamais.

Et en effet on est sûr qu'il y a une infinité de décimales dans l'écriture de π (quelle que soit la base). On le sait depuis le 18ème siècle (démonstration de l'irrationnalité de π).

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Edité par robun 20 juin 2017 à 12:53:05

Robun a parfaitement expliqué ; il faut relire son message phrase par phrase, chaque phrase apporte une information précise et nouvelle ; Sennacherib a introduit des notions beaucoup plus complexes (la distinction entre nombres irrationnels transcendants on non transcendants  ... et la question Pi+e est-il transcendant ou non, ça me paraît à 12000 lieues des préoccupations de Scion).

Je pense qu'il n'y a rien à ajouter, Pi n'est pas infini, c'est un abus de langage, c'est le nombre de décimal qui est infini.

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Edité par Tiffado 20 juin 2017 à 14:38:31

tbc92 a écrit:

  Sennacherib a introduit des notions beaucoup plus complexes (la distinction entre nombres irrationnels transcendants on non transcendants  ... et la question Pi+e est-il transcendant ou non, ça me paraît à 12000 lieues des préoccupations de Scion).

 

 je ne sais pas à combien de lieues se trouve Scion, mais mon message répondait en fait,  comme on peut le remarquer, au commentaire de EuphrasieEueph, soulevant un doute sur la finitude du nombre de décimales de \(\pi\). Donc,même si on pouvait éviter la distinction irrationnel transcendant, lever mathématiquement ce doute passe en gros par ce commentaire . 

J'ai aussi voulu montrer que son doute n'était pas non plus totalement illégitime a priori puisque on ne sait pas toujours déterminer la nature de la suite des décimales obtenus en combinant des nombres irrationnels. 

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Edité par Sennacherib 20 juin 2017 à 16:39:57

Toujours au sujet des décimales de π...

Soit x un nombre. S'il existe une base b dans lequel x a un nombre fini n de décimales, ça signifie que \( (b^n \, x) \) est un nombre entier. Par exemple 3,1416 admet 4 décimales en base 10, donc 10⁴ x 3,1416 est un nombre entier : en effet, c'est le nombre 31416. On en déduit que \(\dfrac{b^n \, x}{b^n} \) est un nombre rationnel.

Ceci prouve la propriété suivante :

→ Soit x un nombre. S'il existe une base b dans lequel x a un nombre fini de décimales, alors x est un nombre rationnel.

Contraposée :

→ Si x n'est pas un nombre rationnel, alors il n'existe pas de base b dans lequel il a un nombre fini de décimales.

Qu'on peut encore écrire :

→ Si un nombre est irrationel, il admet une infinité de décimales dans toute base.

Comme π est irrationel, il admet une infinité de décimales dans toute base. (Reste à démontrer que π est irrationel, c'est de loin le plus difficile ! )

Et maintenant, pour aller plus loin... Est-ce que la propriété ci-dessus est réciproque ? Il me semble que oui. Certes, il existe des nombres rationnels qui ont une infinité de décimales, mais dans une base précise, pas dans toute base. En effet, si un nombre x est rationnel, il s'écrit sous la forme x = p/q, et donc \( q^1 x \) est entier. Ainsi, x admet exactement une décimale en base q. Ainsi, si un nombre est rationnel, il existe une base (en l'occurrence q) dans lequel il a un nombre fini (en l'occurrence 1) de décimales.

Donc je crois qu'on peut écrire que :

→ Un nombre est irrationnel si, et seulement si, il admet une infinité de décimales dans toute base.

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Edité par robun 20 juin 2017 à 19:23:31

Bonjour,

et merci pour vos reponses. C'est toujours assez confu dans ma tete (le fait de me dire que si je divise 100 par 3 je n'obtiens pas un nombre finit mais 33,33333333333333333333 ... jusqu'a l'infinie

Pour moi cela veut dire qu'il est impossible de couper/separer une chose en 3 parties strictement egale.

33,33333... n'est pas plus grand que 33,4 donc il n'est pas infini.

33,3333... est plus petit que 33,34 aussi.

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Edité par poipoi34 21 juin 2017 à 3:57:38

Scion a écrit:

Bonjour,

et merci pour vos reponses. C'est toujours assez confu dans ma tete (le fait de me dire que si je divise 100 par 3 je n'obtiens pas un nombre finit mais 33,33333333333333333333 ... jusqu'a l'infinie

Pour moi cela veut dire qu'il est impossible de couper/separer une chose en 3 parties strictement egale.

Le nombre 33,33333333333333... est fini ! C'est juste qu'il a une infinité de décimales. Mais attention, ça dépend de la base ! En base 12, par exemple, cette division est égale à 29,4 (en effet, 2x12+9+4/12 est bien égal à 100/3). En base 3 elle est égale à 1020,1 (car 1x3³+2x3¹+1/3 fait bien 100/3). Du coup je ne crois pas qu'on puisse dire qu'il est impossible de couper en trois parties strictement égales.

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Edité par robun 21 juin 2017 à 17:17:35

Il faut bien garder à l'esprit que l'écriture d'un nombre de manière décimale relève juste de conventions et de choix, notamment de la base. Si l'écriture de pi comme ayant un nombre infini de décimales est juste une convention d'écriture, on ne peut pas en déduire que pi est infini. C'est juste un de ses "descriptions" qui est infini.

Il y a plein d'autres façons d'écrire pi de manière finie comme : \(4\arctan(1)\)  ou bien \(16\arctan(\frac{1}{5})-4\arctan(\frac{1}{239})\) ou bien même... \(\pi\) !

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Edité par Poco_ 21 juin 2017 à 9:17:15

Raisonnement foireux incoming (et encore, c'est ps si foireux que ça) :

Tu prends un repère orthonormé (O,i,j), et tu places 2 points en A(0;0) et B(0;3). La longueur fait donc pile 3. Si tu veux couper ce segment en 3 parties égales, tu places juste un point en M(0;1) et en N(0;2). On ne peut pas dire que ce soit infaisable. On a donc des segments qui traînent de longueur 1.

Ensuite, tu gardes ta construction, mais tu changes ton repère, en fait, tu prends le repère (O,3i,3j). En gros, la même origine, abscisse et ordonnée, mais avec un rapport des longueur 3 fois supérieur.

Dans ce nouveau repère, tes deux points A et B auront pour coordonnées A(0;0) et B(0;1), et tes points M et N auront M(0;1/3) et N(0;2/3).

Et la étrangement tu as bien des longueurs d'une valeur de 1/3.

En gros, si on est capable de couper un segment de longueur 3 en 3 parties de taille égale, alors on peut tout aussi bien couper un segment de longueur 1 en 3 parties de taille égale.

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Edité par Tiffado 21 juin 2017 à 10:49:17

Quand on parle de nombre infini, ou de nombre infiniment grand, ça veut dire une chose , c'est veut dire un nombre très très grand.  Et pour ces notions, on se moque TOTALEMENT de ce qu'il y a derrière la virgule.  Combien y a-t-il de grains de sables sur les plages de France : on peut dire un nombre infini. Sur un plan strictement mathématique, c'est faux, En effet, si on voulait les compter, si on voulait y mettre les moyens, on réussirait.

Mais il y en a beaucoup. Et on se moque des chiffres après la virgule, on se moque même de savoir s'il y en a  801403 milliards, ou 801404 milliards, on n'est pas à 1 milliard près.

Pour Pi, c'est tout l'inverse, Pi est un nombre fini. Et toutes les questions autour de Pi, ce n'est pas pour calculer Pi à plus ou moins un milliard, mais calculer pi avec un grande précision. Et si on veut une précision infinie, alors il faut donner une infinité de décimales. Si on veut une précision normale, on peut se contenter d'écrire 3.14159

On peut faire une autre comparaison. Quel est ton âge. Disons que tu as 6225 jours. Ecrit ainsi, ton âge est fini. Mais on peut aussi écrire cela sous la forme 17ans et 20 jours (je fais l'impasse sur les années bisextiles). Ou encore 17,054794520547945205479452054794520547945... ans.  Et donc, tu vas dire que ton âge est infini ? 

Non ;  ton âge est fini, mais quand je veux l'écrire avec une précision infinie, j'ai besoin d'une infinité de chiffres. C'est la précision qui est infinie, ce n'est pas le nombre Pi, ni ton âge.

tbc92 a écrit:

On peut faire une autre comparaison. Quel est ton âge. Disons que tu as 6225 jours. Ecrit ainsi, ton âge est fini. Mais on peut aussi écrire cela sous la forme 17ans et 20 jours (je fais l'impasse sur les années bisextiles). Ou encore 17,054794520547945205479452054794520547945... ans.  Et donc, tu vas dire que ton âge est infini ? 

Non ;  ton âge est fini, mais quand je veux l'écrire avec une précision infinie, j'ai besoin d'une infinité de chiffres. C'est la précision qui est infinie, ce n'est pas le nombre Pi, ni ton âge.

---> bon j'avais plus ou moins compris mais ton exemple @tbc92 m'a re-embrouille.
Tu prend l'exemple de 17,054794520547945205479452054794520547945... ans mais d'ou tu sors ces chiffres apres la virgule ?

Je ne comprend pas ton exemple avec les 17,054794520547945205479452054794520547945... ans en fait!

Si tu dis j'ai 17 ans ok
Si tu dis j'ai 6225 jours ok
Si tu dis j'ai x heures ok
Si tu dis j'ai y minutes ok
Si tu dis j'ai z secondes ok

Donc d'ou sorte ces virgules infinit ?

Par exemple je prend ce site (le 1er que j'ai trouve) : http://www.mathematiquesfaciles.com/outils/calculatrice-age.php

Je ne comprend pas d'ou viennent tes virgules ...

Tu m'as embrouille dsl

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Edité par Scion 22 juin 2017 à 3:10:55

17 ans et 20 jours.

20 jours représente 20/365 d'une année (car une année fait 365 jours).

=> 17 ans et 20 jours = 17 ans + 20/365 ans = 17 + 0,054794520547945205479452054794520547945...  ans

Le mot clé est le mot "précision", ou encore le mot "approximation". 

Quand tu dis 17 ans au lieu de 17 ans et 20 jours, ou au lieu de 17.05479.. ans, tu fais une approximation. C'est comme quand tu dis que pi vaut 3, ou 3.14 , ou 3.14159.

Plus on donne de décimales, plus on est précis. Et à l'extrême, si on veut une précision infinie, on a besoin de donner une infinité de décimales.

Ce n'est pas Pi qui est infini, c'est la précision utilisée pour écrire Pi qui est infinie.

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Edité par tbc92 22 juin 2017 à 19:41:44

si Pi était infini, ça serait dur de faire des tartes ( Pie )... 

Sinon, blague appart, je trouve cela énervant les articles/ vidéos volontairement putaclic du genre : " 0.999999..." n'existe pas, Pi est faux, On a pas résolue x^2 = 2 ... qui font que des débutant en math se retrouvent dans une confusion totale sur des sujets aussi simple que : est ce que ce nombre est fini même si il a un nombre de décimale infini ....

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Edité par edouard22 22 juin 2017 à 20:33:30

Ça me fait penser (les "putaclics" dont tu parles) à ce que j'avais lu il y a quelques années dans un livre consacré à l'histoire des maths. Il paraît qu'au milieu du dix-neuvième siècle, lors d'un congrès, un mathématicien a fait remarquer à ses collègues que l'égalité \( \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} \) n'avait jamais été démontrée. Tollé dans les gradins ! Mais on voit ce calcul à l'école ! Qu'est-ce qu'il nous raconte ?

En fait il avait raison : comme à l'époque on n'avait pas encore défini les nombres réels (du moins ceux d'entre eux qui sont irrationnels) et comme justement \( \sqrt{2} \) et \( \sqrt{3} \) sont irrationnels, et qu'on n'avait donc pas défini comment les multiplier, on ne pouvait pas appliquer sur eux la régle \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) (jusqu'alors définie seulement sur les rationnels), et c'était justement ce que voulait expliquer ce mathématicien. Mais je comprends que beaucoup de mathématiciens pouvaient considérer ça comme du chipotage : ils avaient sûrement des choses plus intéressantes à faire (on était encore à l'époque où les maths dépendaient fortement de la physique, même si ça commençait à changer).

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Edité par robun 22 juin 2017 à 20:59:03

Depuis quand cette question peut être résolue ? haha...

Non sans rire, je pense que le problème d'un grand nombre de personnes c'est d'imaginer les distances en terme de longueur. Mais c'est une ÉNORME ERREUR !

Ne t'es-tu jamais demandé pourquoi les planètes sont sphériques et pourquoi les sons, les lumières et rayonnements en tout genre se déplacent dans toutes les directions à partir d'un centre ? pourquoi l'univers lui-même s'étend dans toutes les directions et pourquoi l'attraction et la répulsion possède toujours un centre en fonction de la masse dans l'espace ? C'est surement parce que l'univers a une nature de profondeur et non de distance. La distance c'est une construction émergente créée par la matière, elle-meme créé par cette nature de profondeur.

Donc ta ligne rouge là en quoi elle ne pourrait pas être infinie ? Car tu raisonnes en terme de distance infinie et donc tu penses que cette ligne devrait aller vers la droite infiniment mais pourquoi ne pourrait-elle pas tomber infiniment dans les profondeurs du point de sa décimal ?

C'est comme regardé ton évier de haut et voir l'eau partir, et tu te poses la question "comment l'eau a pu partir car l'évier est bloqué par 4 côtés", oui seulement l'eau est partie dans un trou

La décimal est infinie et donc la ligne s'écoule dans les profondeurs les plus lointains de son point droite.

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Edité par ValentinDegenne 27 août 2019 à 13:34:13

Sans vouloir être relou, quand quelqu'un n'arrive pas à piger pourquoi Pi n'est pas infini  (cf question initiale), je ne crois pas que ta réponse (qui est un déterrage au passage), puisse l'aider en quoi que ce soit, tu vas juste la perdre encore plus.

Rien que moi personnellement, même si je n'ai jamais eu de soucis avec la valeur de Pi (j'ai quand même fait prépa quoi), il m'a fallu lire ta réponse 3 fois pour savoir où tu voulais en venir. Une bonne réponse à une question doit s'adapter à la personne qui la pose, et tant pis si elle n'est pas exacte, l'important c'est que la personne en face puisse comprendre et tendre vers la vrai solution, pas d'y être avec précision.

ValentinDegenne a écrit:

et pourquoi les sons, les lumières et rayonnements en tout genre se déplacent dans toutes les directions à partir d'un centre ? pourquoi l'univers lui-même s'étend dans toutes les directions et pourquoi l'attraction et la répulsion possède toujours un centre en fonction de la masse dans l'espace ?

Je crois pas qu'il se soit poser la question non.

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Edité par Tiffado 27 août 2019 à 14:27:43

Tu peux m'expliquer ? J'ai pas compris. J'ai l'impression qu'il parle d'un espace projectif, mais je ne suis pas sûr.

Après l'avoir relu une 4ème fois, je me rend compte que l'interprétation que j'avais eu était à côté de la plaque 

J'ai l'impression qu'il parle de trou de ver ou d'une 4eme dimension (autre que le temps)

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Edité par Tiffado 28 août 2019 à 13:43:33