Bonjour à tous,

    J'aurais besoin de votre aide pour une question figurant dans un devoir maison de mathématiques. Dans cette question, on me demande d'étudier le signe d'une fonction dans l'intervalle [0;Pi]. Voilà la fonction:

f(x)= -2cos²(x)+cos(x)+1. J'ai déjà trouvé que les racines de la fonction dans l'intervalle [0;Pi] étaient x= 0 ou x= 2Pi/3. J'ai tenté de faire une inéquation de cercle mais je n'ai pas réussi à aboutir à quelque chose d'exploitable.

Si vous pouviez m'aider ce serait formidable, merci d'avance !

tu as essayé de regarder la dérivée de f ?

En fait, je ne l'ai pas précisé, mais cette fonction est elle-même la dérivée d'une autre... Donc je dois étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction initiale.

Le conseil de Edouard22 reste valable.

Pour  le signe de cette dérivée , cela ne t'empêche pas de calculer sa propre dérivée comme le suggère edouard22 pour étudier ses variations et trouver des points de max et min. et en déduire que \(x=\frac{2\pi}{3}\), c'  est seul le point où le signe change. 

Justement, il n'y a pas que sur 2Pi/3 que le signe change...

Le signe change en 2Pi/3. Mais tu ne sais pas si la cour passe de négative à positive, ou l'inverse.

C'est pour cela qu'on te propose de calculer la dérivée. Si la dérivée est positive, la courbe monte, et donc elle passe de négative vers positive. Et sinon, c'est l'inverse. Reste le cas possible et problématique où la dérivée vaudrait 0, mais on va faire l'impasse pour l'instant

J'ai utilisé le tableur sur ma calculatrice et j'ai vu que la dérivée changeait de signe, de Pi/6 à 2Pi/6; de 4Pi/6 à 5Pi/6 et de 5Pi/6 à Pi.

Je me suis dit que je devais peut-être faire une inéquation de cercle mais je ne sais pas comment la résoudre...

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Edité par FdsfdsFdsfsdfvs 26 décembre 2017 à 17:48:04

Normalement, ce genre d'exercice se résout en étudiant le trinôme -2X² + 2X + 1. Si on note r1 et r2 ses racines, on sait que ce trinôme est positif si et seulement si r1 < X < r2.

La deuxième étape est donc de résoudre {cos x > r1 et cos x < r2}.

C'est ce que tu as fait ?

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Je viens de faire l'exercice, c'est très simple (ne le compliquez pas avec un calcul de dérivée !). Une fois les deux racines trouvées, on dessine un cercle trigonométrique, on place les deux racines sur l'axe des x (puisqu'elles correspondent à un cosinus) et on trouve que le signe de f sur [0, π] est :

‒ positif pour x entre *** et *** ;

‒ négatif pour x entre *** et ***.

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Edité par robun 27 décembre 2017 à 11:58:37

En utilisant ta méthode:

J'ai r1= 0 et r2= 2Pi/3.

J'ai alors cos(x)> r1= cos(x)> 0 quand cos(x) appartient à l'intervalle [0;Pi/2[

Et, j'ai cos(x) < r2= cos(x)< 2Pi/3 dans l'ensemble des réels vu que 2Pi/3 est environ égal à 2 et que le cosinus ne dépasse jamais 1. Si, on le ramène à l'intervalle étudié, j'ai cos(x) < 2Pi/3 dans l'intervalle [0;Pi].

Dans ce cas, j'ai f positif pour x entre 0 et Pi/2 exclu et f négatif pour x entre Pi/2 exclu et Pi.

Du coup, c'est pas si facile vu que ma fonction c'est -2cos²(x)+cos(x)+1 et pas simplement cos(x). En plus, il n'y aurait pas autant de changements de signes si il n'y avait que ces deux intervalles.

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Edité par atchmou 27 décembre 2017 à 15:23:57

Houlà, j'ai l'impression que t'es mélangé les pinceaux...

J'ai procédé ainsi :

‒ Les deux racines du trinôme sont -1/2 et 1 (c'est eux, r1 et r2, pas 0 et 2π/3 !).

‒ Sur [0,π], cos x est compris entre -1/2 et 1 pour x compris entre 0 et 2π/3 (ça se voit immédiatement sur le dessin du cercle trigonométrique).

‒ Donc f(x) est positif si et seulement x est compris entre 0 et 2π/3, et du coup il est négatif si et seulement si x est compris entre 2π/3 et π.

(J'ai fait afficher la courbe de f, ça colle.)

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Edité par robun 27 décembre 2017 à 15:34:41

Je suis d'accord, ce que tu dis est logique mais moi, quand j'ai regardé le tableau de valeurs, il y avait beaucoup plus de changements de signes...

A Pi/6, c'était négatif, à 2Pi/6, c'était positif, à 5 Pi/6, c'était négatif et à Pi, c'était positif. Alors que si l'on suit ce que tu me dis, la fonction est d'abord positive de 0 à 2Pi/3, puis négative de 2Pi/3 à Pi. Si tu regardes la courbe de la fonction f, il y a des oscillations qui confirment ce que j'ai observé dans mon tableau de valeurs.

La fonction c'est -2cos²(x)+cos(x)+1, j'ai l'impression de beaucoup insister là-dessus mais c'est pas juste un polynôme du second degré, la fonction cosinus change tout. Je rappelle que je souhaite savoir quand cette fonction contenant les cosinus est positive et quand est-ce qu'elle est négative, je ne souhaite pas étudier le signe du trinôme -2x²+x+1.

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Edité par atchmou 27 décembre 2017 à 18:19:09

Je ne sais pas d'où vient ce tableau de valeurs, mais il doit être faux (tu as calculé les valeurs en degrés ou en radians ?). Comme je l'ai dit plus haut, j'ai fait afficher sa courbe (celle de la fonction \( x \mapsto f(x) = -2\cos^2 x + \cos x + 1 \)), elle colle avec mes calculs.

Le trinôme -2X² + X + 1 doit être étudié préalablement parce qu'on pose X = cos x, méthode que tu as dû voir en cours normalement (c'est quelque chose de très classique).

Est-ce que tu as retrouvé mes résultats ? Est-ce que tu souhaites que je détaille un peu plus la méthode ?

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Edité par robun 28 décembre 2017 à 5:26:43

Ma calculatrice est en radians. Quand j'affiche cette fonction sur ma calculatrice, je vois qu'elle est légèrement négative jusqu'à 0,8 environ, puis positive jusqu'à 2,2, puis négative jusqu'à 2,8. Et après 3,14, la courbe ne nous intéresse plus vu que l'on dépasse l'intervalle.

Après, si je suis simplement ta logique en me cantonnant aux calculs, j'ai:

cos(x)> r1 = cos(x) > -0.5 quand x appartient à l'intervalle [0;2Pi/3[

Et, cos(x)< r2 = cos(x)< 1 quand x appartient à l'intervalle ]0;Pi].

Donc, cos(x) > -0.5 et cos(x) < 1 quand x appartient à l'intervalle ]0;2Pi/3[. On a alors f positive sur ]0;2Pi/3[ et f négative sur ]2Pi/3;Pi].

Est-ce que c'est juste ou je me suis encore trompé ?

Edit: Je viens de l'afficher sur un logiciel traçant les courbes en ligne et il me donne une courbe similaire, il y a un problème de réglage sur ma calculatrice je pense.

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Edité par atchmou 28 décembre 2017 à 10:40:01

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Edité par robun 28 décembre 2017 à 10:52:44

robun a écrit:

Je viens de faire l'exercice, c'est très simple (ne le compliquez pas avec un calcul de dérivée !). 

Edité par robun il y a environ 22 heures

tout dépend sans doute du niveau auquel est posé l'exo, mais je ne vois pas ce que cela a de compliquer d'utiliser  la dérivée pour conclure facilement .

La dérivée vaut \(f'(x)=\sin x(4\cos x -1)\). Elle s'annule pour \(x=0,f(x)=0\) , \(x=\pi, f(x)=-2\),( donc \(f\) négative) et pour un point entre \((0,2\pi/3)\) tel que \(\cos(x)=1/4\), où elle passe par un maximum positif.,
La dérivée  étant négative en \(x= 2\pi/3\), seul point où  la fonction s'annule entre \(]0,\pi]\), on peut donc conclure que \(f(x)\) est positive entre \((0, 2\pi/3)\) et négative entre \((2\pi/3, \pi)\).

Comme dit au départ, tout dépend du niveau  , mais passer par la dérivée est une façon quand même plus  systématique d'étudier le signe , quelle que soit la "tête" de la fonction \(f\).

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Edité par Sennacherib 28 décembre 2017 à 11:50:45

Oui, c'est une méthode plus générale qu'il faut connaître, mais ici elle est plus longue que poser X = cos x, qui est probablement la méthode attendue (car c'est une technique enseignée au lycée)

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Edité par robun 28 décembre 2017 à 11:51:47

cela parait plus long parce que j'ai détaillé "inutilement"  , mais  il  suffit , sachant que la fonction ( continue !) ne s'annule qu'une  fois dans l'intervalle considéré , de connaitre le signe de la dérivée en ce point pour conclure ( ce que suggérait déjà implicitement tbc92). Donc calculer la dérivée et vérifier son signe en \(2\pi/3\) ne me parait pas "énormément"  plus long que passer par le trinôme.
Mais comme dit, cela dépend du niveau de atchmou et  les méthodes enseignées au Lycée , je ne les connais plus  trop !

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Edité par Sennacherib 28 décembre 2017 à 12:07:53

En fait, je soupçonne qu'il s'agit d'un problème de terminale S ou équivalent, car c'est le genre d'exercice qu'on trouve à ce niveau. J'imagine que l'énoncé doit ressembler à :

« Soit f la fonction définie pour tout x dans [0, π] par : f(x) = sin(x) [1 - cos(x)]. a) Démontrer que sa dérivée est f'(x) = -2 cos²(x) + cos(x) + 1. b) Étudier le signe de f' sur [0, π]. c) En déduire les variations de f. »

Dans le chapitre sur la trigonométrie, il y a notamment la résolution d'équations avec cosinus ou sinus, et l'équation -2 cos²(x) + cos(x) + 1 > 0 est assez typique de ce genre d'exercice. On la traite en posant X = cos x, ça permet d'utiliser la méthode du discriminant vue en première.

Mais tu as raison de signaler que la méthode consistant à re-dériver une dérivée est à connaître. J'ai déjà vu ce genre de chose dans des sujets de bac, mais les élèves sont aidés : on leur donne d'abord une fonction auxiliaire à étudier, en particulier à dériver, et ensuite on amène f. Lorsqu'on dérive f, on tombe sur la fonction auxiliaire. Du coup, j'ai l'impression qu'on n'exige pas des élèves qu'ils aient l'idée de re-dériver la dérivée. (Je ne suis pas prof de terminale, donc ça reste une impression.)