Bonsoir , je dois étudier la convergence de ces trois intégrales: 

1)  integrale de 0 à pi/2 de ln(sin(x))dx

Il y a un problème de convergence en 0 donc j'ai mis l'équivalent de sin : x 

j'obtiens donc integrale de 0 à pi/2 de ln(x)dx

et j'ai fait une intégration par parties :

[xln(x)] t à pi/2 - integrale de t à pi/2 de 1 dx

et après la partie calculatoire j'ai :

ln(pi/2)*pi/2 -tln(t) - pi/2 + t

Et là je ne sais pas quoi en déduire à cause du tln(t).

2) integrale 0 à 1 (x-1)/ln(x) dx

problème de convergence en 0 et 1 :

là je n'ai aucune idée de comment faire..

3)integrale 1 à 2 de sqrt(ln(x)) / (1-x) dx :

Il y a un problème de convergence en 1. 

Là j'ai tenté une équivalence mais pour ln il n'y en a pas. 

Et sinon j'ai fait autrement : ln^(1/2) (x) / (1-x)dx mais là aussi impasse.

Quelqu'un aurait une idée pour me débloquer svp ?

Bonne soirée

Bonjour,

Avant que nous t'aidions précisément sur chacune des tes 3 intégrales, je pense qu'il faut que tu travailles sur un point : la fonction \(\text{ln}\) :

- Revoir la croissance comparée avec les puissances de x (pour pouvoir utiliser le critère de Riemann) : en 0, \(ln(x)=o(1/x^{\alpha})\) pour tout \(\alpha>0\) et en \(+\infty\), \(ln(x)=o(x^{\alpha})\) pour tout \(\alpha>0\)

- une primitive de \(\text{ln}\) est \(xln(x)-x\) (d'ailleurs tu l'as retrouvée avec ton IPP), et donc tu pourras régler la question de la convergence de l'intégrale de \(\text{ln}\) en \(0\) (que tu aurais pu également faire avec le critère de Riemann et le point précédent).

- Prouver, pour s'entraîner et pouvoir l'utiliser, le critère de Bertrand !

-
Edité par sylpro 26 mai 2020 à 9:30:34

sylpro a écrit:

Bonjour,

Avant que nous t'aidions précisément sur chacune des tes 3 intégrales, je pense qu'il faut que tu travailles sur un point : la fonction \(\text{ln}\) :

- Revoir la croissance comparée avec les puissances de x (pour pouvoir utiliser le critère de Riemann) : en 0, \(ln(x)=o(1/x^{\alpha})\) pour tout \(\alpha>0\) et en \(+\infty\), \(ln(x)=o(x^{\alpha})\) pour tout \(\alpha>0\)

- une primitive de \(\text{ln}\) est \(xln(x)-x\) (d'ailleurs tu l'as retrouvée avec ton IPP), et donc tu pourras régler la question de la convergence de l'intégrale de \(\text{ln}\) en \(0\) (que tu aurais pu également faire avec le critère de Riemann et le point précédent).

- Prouver, pour s'entraîner et pouvoir l'utiliser, le critère de Bertrand !

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Edité par sylpro il y a environ 1 heure

xln(x) par croissance comparée tend vers 0 par changement de variable. Donc si on part de ça et de ce que j'avais trouvé , l'integrale tend vers ln(pi/2)-pi/2 - pi/2 ??

Je te donnais des conseils généraux mais pour ta première intégrale, tu as fait plusieurs erreurs (enfin, pas tout-à-fait) :

- Première chose : attention avec le passage au logarithme sur des équivalents; ça ne marche pas tout le temps (ici oui, mais il vaut mieux le démontrer) par exemple : quand \(x\) tend vers \(0\),  on a \(x+1 \sim 1\) mais \(ln(1+x)\) n'est pas équivalent à \(0\)

Bref, mais ce souci n'a pas lieu d'être dans ton cas car en \(0\) on a \(sin(x)=x+o(x^2)=x(1+o(x))\) donc \(\dfrac{\ln(\sin(x))}{\ln(x)}=1+\ln(1+o(x))\rightarrow 1\) d'où ton équivalent en \(0\).

Maintenant, ton erreur, ton équivalent est en \(0\) et seulement au voisinage de \(0\) !! Et tu ne peux pas remplacer ton \(\ln(\sin(x))\) par \(\ln(x)\) sur tout l'intervalle d'intégration.

Bref, voilà comment procéder :

La fonction \(x \mapsto \ln(\sin(x))\) est continue sur \(]0,\pi/2]\) (sinus étant strictement positive sur \(]0,\pi/2]\), on essaye donc l'intégrabilité de la fonction en \(0\).

On a comme tu l'as dit, \(|\ln(\sin(x))|\sim |\ln(x)|=o(1/\sqrt{x})\) en \(0\) donc d'après le critère de Riemann en 0 (1/2<1) et par comparaison, cette fonction est intégrable en \(0\).

Donc plus de problème en 0, ni ailleurs pas continuité, donc ta fonction est intégrable sur \(]0,\pi/2]\) et donc son intégrable converge sur cet intervalle.

Je te laisse t'inspirer de cela pour tes deux autres intégrales !

-
Edité par sylpro 26 mai 2020 à 15:57:16

sylpro a écrit:

Je te donnais des conseils généraux mais pour ta première intégrale, tu as fait plusieurs erreurs (enfin, pas tout-à-fait) :

- Première chose : attention avec le passage au logarithme sur des équivalents; ça ne marche pas tout le temps (ici oui, mais il vaut mieux le démontrer) par exemple : quand \(x\) tend vers \(0\),  on a \(x+1 \sim 1\) mais \(ln(1+x)\) n'est pas équivalent à \(0\)

Bref, mais ce souci n'a pas lieu d'être dans ton cas car en \(0\) on a \(sin(x)=x+o(x^2)=x(1+o(x))\) donc \(\dfrac{\ln(\sin(x))}{\ln(x)}=1+\ln(1+o(x))\rightarrow 1\) d'où ton équivalent en \(0\).

Maintenant, ton erreur, ton équivalent est en \(0\) et seulement au voisinage de \(0\) !! Et tu ne peux pas remplacer ton \(\ln(\sin(x))\) par \(\ln(x)\) sur tout l'intervalle d'intégration.

Bref, voilà comment procéder :

La fonction \(x \mapsto \ln(\sin(x))\) est continue sur \(]0,\pi/2]\) (sinus étant strictement positive sur \(]0,\pi/2]\), on essaye donc l'intégrabilité de la fonction en \(0\).

On a comme tu l'as dit, \(|\ln(\sin(x))|\sim |\ln(x)|=o(1/\sqrt{x})\) en \(0\) donc d'après le critère de Riemann en 0 (1/2<1) et par comparaison, cette fonction est intégrable en \(0\).

Donc plus de problème en 0, ni ailleurs pas continuité, donc ta fonction est intégrable sur \(]0,\pi/2]\) et donc son intégrable converge sur cet intervalle.

Je te laisse t'inspirer de cela pour tes deux autres intégrales !

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Edité par sylpro il y a environ 1 heure

Ah oui ok mais pourquoi |\ln(x)|=o(1/\sqrt{x})\)  , d'où vient le 1/racine(x)|ln(sin(x))|∼|ln(x)|=o(1/x