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[Exercice] [Arithmétique] Théorème de Wilson ****

Niveau Terminale S Spé Maths (Difficile !)

18 décembre 2010 à 18:58:55

[Terminale S Spé Maths] [Arithmétique] Théorème de Wilson ****

Notation :
Si <math>\(n\)</math> est un entier, <math>\(n! = 1 \times 2 \times ... \times n\)</math> (lire "factorielle n") est le produit de tous les entiers de <math>\(1\)</math> à <math>\(n\)</math>.

Le but de cet exercice est de montrer le théorème de Wilson : un entier <math>\(p\)</math> strictement supérieur à <math>\(1\)</math> est premier si, et seulement si, <math>\((p-1)! \equiv -1 \; [p]\)</math>.

Vérifier que le théorème est vrai pour <math>\(p = 2\)</math> et <math>\(p = 3\)</math>.
Soit <math>\(p\)</math> un nombre premier. On note <math>\(E = {1, 2, ..., p-1}\)</math> l'ensemble des entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p - 1\)</math>.
1. Préliminaires.
  Soit <math>\(a\)</math> un élément de <math>\(E\)</math>.
  1. Montrer que <math>\(a\)</math> est premier avec <math>\(p\)</math>.
  2. Soit <math>\(n\)</math> et <math>\(m\)</math> deux éléments de <math>\(E\)</math>. Montrer que <math>\(a n \equiv a m \; [p] \Leftrightarrow n = m\)</math>.
  3. Montrer qu'il existe un entier <math>\(b\)</math> tel que <math>\(ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
  4. Soit <math>\(a'\)</math> le reste de la division euclidienne de <math>\(b\)</math> par <math>\(p\)</math>, montrer que <math>\(a'\)</math> est le seul élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(aa' \equiv 1 \; [p]\)</math>.
    <math>\(a'\)</math> est appelé "inverse de <math>\(a\)</math> modulo <math>\(p\)</math>".
  5. Montrer que <math>\(a^2 \equiv 1 \; [p] \Leftrightarrow a = 1 \;\mathrm{ou}\; a = p-1\)</math> (<math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math> sont les seuls éléments qui sont leurs propres inverses modulo <math>\(p\)</math>).
2. Preuve du sens direct : En regroupant, quand c'est possible, chacun des termes avec son inverse modulo <math>\(p\)</math> dans le produit <math>\(1 \times 2 \times ... \times (p-1)\)</math>, montrer que <math>\((p-1)! \equiv -1 \;[p]\)</math>.
Réciproque : soit <math>\(p\)</math> un entier tel que <math>\((p-1)! \equiv -1 \; [p]\)</math>.
Montrer que <math>\(p\)</math> est premier avec <math>\((p-1)!\)</math>.
En déduire que <math>\(p\)</math> est premier avec tous les entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math>, puis conclure sur la primalité de <math>\(p\)</math>.

Solution :

Pour <math>\(p = 2\)</math>, on a <math>\((p-1)! = 1! = 1\)</math>, or <math>\(1 = 2 - 1\)</math>, donc <math>\(1 \equiv -1 \; [2]\)</math>, le théorème de Wilson est vérifié pour <math>\(p = 2\)</math>.
Pour <math>\(p = 3\)</math>, on a <math>\((p-1)! = 2! = 1 \times 2\)</math>, or <math>\(2 = 3 - 1\)</math>, donc <math>\(2 \equiv -1 \; [3]\)</math>, le théorème de Wilson est vérifié pour <math>\(p = 3\)</math>.
1. 1. Soit <math>\(g\)</math> le PGCD de <math>\(a\)</math> et de <math>\(p\)</math>.
    <math>\(g\)</math> divise <math>\(p\)</math>, mais <math>\(p\)</math> est premier, donc <math>\(g = 1\)</math> ou <math>\(g = p\)</math>.
    Mais <math>\(1 < a < p\)</math>, donc <math>\(p\)</math> ne peut pas diviser <math>\(a\)</math> et on a bien <math>\(g = 1\)</math>, soit <math>\(a\)</math> et <math>\(p\)</math> sont premiers entre eux.
  2. Le sens réciproque est évident, si <math>\(n = m\)</math> alors <math>\(an = am\)</math> et donc <math>\(an \equiv am \; [p]\)</math>.
    Si maintenant on a <math>\(an \equiv am \; [p]\)</math>, alors <math>\(p\)</math> divise <math>\(a(n - m)\)</math>, mais <math>\(p\)</math> est premier avec <math>\(a\)</math> donc d'après Gauss, <math>\(p\)</math> divise <math>\(n - m\)</math>.
    Mais <math>\(n - m\)</math> est compris entre <math>\(-(p-1)\)</math> et <math>\(p - 1\)</math>, soit <math>\(|n-m| < p\)</math> !
    Le seul multiple de <math>\(p\)</math> qui vérifie cela est <math>\(0\)</math>, donc <math>\(n - m = 0\)</math> et <math>\(n = m\)</math>.
  3. D'après Bézout, <math>\(a\)</math> et <math>\(p\)</math> sont premiers entre eux, donc il existe deux entiers <math>\(b\)</math> et <math>\(k\)</math> tels que <math>\(ab + kp = 1\)</math>, soit <math>\(ab = 1 - kp\)</math> et <math>\(ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
  4. Soit <math>\(q\)</math> le quotient de cette division, on a <math>\(b = pq + a'\)</math> donc <math>\(b \equiv a' \; [p]\)</math>.
    Par conséquent, <math>\(a'\)</math> est non nul (sinon, <math>\(b \equiv 0 \;[p]\)</math> donc <math>\(a b \equiv 0 \times a \equiv 0 \; [p]\)</math>), donc <math>\(0 < a' < p\)</math> et <math>\(a'\)</math> est entier, donc <math>\(a'\)</math> est dans <math>\(E\)</math>.
    De plus, <math>\(a' \equiv b \; [p]\)</math> donc <math>\(aa' \equiv ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
    Finalement, si <math>\(b'\)</math> était un autre élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(ab' \equiv aa' \; [p]\)</math>, alors on a, d'après la question II.1.b, <math>\(b' = a'\)</math>.
    <math>\(a'\)</math> est bien l'unique élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(aa' \equiv 1\;[p]\)</math>.
  5. En factorisant l'identité remarquable <math>\(a^2 - 1\)</math>, on a <math>\(a^2 \equiv 1 \; [p]\)</math>si et seulement si <math>\((a - 1)(a + 1) \equiv 0 \; [p]\)</math>.
    Cette égalité est vraie si et seulement si <math>\(p\)</math> divise <math>\((a - 1)(a + 1)\)</math>.
    Par conséquent, si <math>\(a - 1 > 0\)</math> et <math>\(a + 1 < p\)</math>, c'est faux, puisqu'alors <math>\(a - 1\)</math> et <math>\(a + 1\)</math> sont premiers avec <math>\(p\)</math>.
    Les seules solutions possibles sont donc <math>\(a = 1\)</math> et <math>\(a = p - 1\)</math>, qui sont bien solutions puisque <math>\((1 - 1)(1 + 1) = 0\)</math> est un multiple de <math>\(p\)</math> et <math>\((p - 1 - 1)(p - 1 + 1) = (p - 2)p\)</math> aussi.
2. Dans tous les cas où <math>\(a \neq 1\)</math> et <math>\(a \neq -1\)</math>, on peut réordonner le produit pour que le terme <math>\(aa'\)</math> se simplifie en <math>\(1\)</math> (modulo <math>\(p\)</math>).
  Par conséquent, si on ne considère que le résultat modulo <math>\(p\)</math>, on a donc <math>\((p-1)! \equiv 1 \times 1 \times ... \times 1 \times (p-1) \; [p]\)</math>, donc <math>\((p-1)! \equiv p - 1 \; [p]\)</math>, or <math>\(p - 1 \equiv -1 \; [p]\)</math> et on obtient bien le résultat.
<math>\(p\)</math> divise <math>\((p-1)! + 1\)</math>, donc il existe un entier <math>\(k\)</math> tel que <math>\((p-1)! + 1 = kp\)</math>, soit <math>\(kp - (p-1)! = 1\)</math>, donc d'après Bézout, <math>\(p\)</math> est <math>\((p-1)!\)</math> sont premiers entre eux.
Soit alors <math>\(n\)</math> un entier compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math>, alors il est dans le produit <math>\(1 \times 2 \times ... \times (p-1)\)</math>, donc d'après l'égalité ci-dessus on a <math>\(kp - [1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times (n+1) \times ... \times (p-1)] \times n = 1\)</math> et <math>\(p\)</math> et <math>\(n\)</math> sont premiers entre eux d'après Bézout.
Par conséquent, si <math>\(n\)</math> est un entier entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math> qui divise <math>\(p\)</math>, cela ne peut être que <math>\(1\)</math> (car alors <math>\(PGCD(p, n) = n = 1\)</math>), et on en déduit que <math>\(p\)</math> est premier.

Edit : Nouvelle version plus guidée.

Knives Out

18 décembre 2010 à 19:22:10

Même avec quatre étoiles dans le titre du sujet, il est exagéré de classer la démonstration du théorème de Wilson dans les exercices a priori à la portée d'un élève de Terminale.

Je ne suis même pas certain que, statistiquement, 2% des élèves parviennent à démontrer ce théorème sans que les principales étapes de la démonstration soient révélées comme c'est habituellement le cas lors des exercices faits en cours.

Cela ne correspond tout simplement pas au genre d'exercices qu'on fait dans l'année. Ne confondons pas les exercices de MPSI et ceux de Terminale...

cbasile06

18 décembre 2010 à 19:41:09

Ce n'est pas parce que cela ne correspond pas au genre d'exercices fait en cours que ce n'est pas à la portée des élèves.
Je pense qu'un élève de TS Spé Maths qui a bien compris les principes du cours et passe un temps raisonnable à chercher la démonstration est capable de la trouver, en particulier avec l'indice qui lève la principale difficulté, et en particulier après avoir vu la démonstration du Petit Théorême de Fermat qui fait également appel à des simplifications de ce genre, il me semble.
Le sens réciproque en tout cas doit être à la portée de l'élève de Spé Maths moyen, il ne s'agit que d'écrire la définition de la congruence et d'utiliser Bézout.

Après, il est tout à fait possible que je surestime le niveau moyen des élèves de Terminale, je peux toujours changer le niveau estimé de l'exercice.

Accessoirement, je pense que le nombre d'élèves de TS capables de faire les exercices marqués trois étoiles dans les livres d'exercice est assez restreint également, et ceux-ci ne guident pas forcément beaucoup l'élève non plus...
Note aussi que http://www.ilemaths.net/forum-sujet-33596.html est classé dans la section "Terminale".

candide

18 décembre 2010 à 22:40:06

Citation : Knives Out

Je ne suis même pas certain que, statistiquement, 2% des élèves parviennent à démontrer ce théorème sans que les principales étapes de la démonstration soient révélées comme c'est habituellement le cas lors des exercices faits en cours.

Cela ne correspond tout simplement pas au genre d'exercices qu'on fait dans l'année. Ne confondons pas les exercices de MPSI et ceux de Terminale...

Totalement d'accord, donner ce genre de démonstration sous forme d'exercice est complètement absurde voire ridicule, seul 1 élève de terminale sur 10000 peut être capable de produire seul ce genre de démonstration. Donc, il faut donner un exercice guidé, avec les étapes. Au demeurant, j'ai vu la preuve que tu proposes, c'est carrément lourd, ne rien connaître sur les anneaux rend la démonstration particulièrement obscure.

L'argument du niveau des connaissances utilisées ici est un argument particulièrement factice. Il existe un très grand nombre de démonstrations de résultats plus ou moins connus qui ne nécessitent que des résultats plus ou moins élémentaires et qui pourtant n'ont été découvert que très tardivement, après que des démonstrations bien plus compliquées aient été données.

EDIT Pour un matheux, il est fâcheux d'écrire théorème avec un accent circonflexe ...

cbasile06

19 décembre 2010 à 12:16:29

Bon, j'admets que mettre cet exercice au niveau TS sans plus d'indications était sans doute en sous-estimer un peu le niveau, et en relisant ma "preuve" après une bonne nuit de sommeil, elle est effectivement assez obscure.

Est-ce que rédigé comme ceci (voir plus bas) cela serait mieux ?

[Terminale S Spé Maths] [Arithmétique] Théorème de Wilson ****

Vérifier que le théorème est vrai pour <math>\(p = 2\)</math> et <math>\(p = 3\)</math>.
Soit <math>\(p\)</math> un nombre premier. On note <math>\(E = {1, 2, ..., p-1}\)</math> l'ensemble des entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p - 1\)</math>.
1. Préliminaires.
  Soit <math>\(a\)</math> un élément de <math>\(E\)</math>.
  1. Montrer que <math>\(a\)</math> est premier avec <math>\(p\)</math>.
  2. Soit <math>\(n\)</math> et <math>\(m\)</math> deux éléments de <math>\(E\)</math>. Montrer que <math>\(a n \equiv a m \; [p] \Leftrightarrow n = m\)</math>.
  3. Montrer qu'il existe un entier <math>\(b\)</math> tel que <math>\(ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
  4. Soit <math>\(a'\)</math> le reste de la division euclidienne de <math>\(b\)</math> par <math>\(p\)</math>, montrer que <math>\(a'\)</math> est le seul élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(aa' \equiv 1 \; [p]\)</math>.
    <math>\(a'\)</math> est appelé "inverse de <math>\(a\)</math> modulo <math>\(p\)</math>".
  5. Montrer que <math>\(a^2 \equiv 1 \; [p] \Leftrightarrow a = 1 \;\mathrm{ou}\; a = p-1\)</math> (<math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math> sont les seuls éléments qui sont leurs propres inverses modulo <math>\(p\)</math>).
2. Preuve du sens direct : En regroupant, quand c'est possible, chacun des termes avec son inverse modulo <math>\(p\)</math> dans le produit <math>\(1 \times 2 \times ... \times (p-1)\)</math>, montrer que <math>\((p-1)! \equiv -1 \;[p]\)</math>.
Réciproque : soit <math>\(p\)</math> un entier tel que <math>\((p-1)! \equiv -1 \; [p]\)</math>.
Montrer que <math>\(p\)</math> est premier avec <math>\((p-1)!\)</math>.
En déduire que <math>\(p\)</math> est premier avec tous les entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math>, puis conclure sur la primalité de <math>\(p\)</math>.

Solution :
<secret>

Pour <math>\(p = 2\)</math>, on a <math>\((p-1)! = 1! = 1\)</math>, or <math>\(1 = 2 - 1\)</math>, donc <math>\(1 \equiv -1 \; [2]\)</math>, le théorème de Wilson est vérifié pour <math>\(p = 2\)</math>.
Pour <math>\(p = 3\)</math>, on a <math>\((p-1)! = 2! = 1 \times 2\)</math>, or <math>\(2 = 3 - 1\)</math>, donc <math>\(2 \equiv -1 \; [3]\)</math>, le théorème de Wilson est vérifié pour <math>\(p = 3\)</math>.
1. 1. Soit <math>\(g\)</math> le PGCD de <math>\(a\)</math> et de <math>\(p\)</math>.
    <math>\(g\)</math> divise <math>\(p\)</math>, mais <math>\(p\)</math> est premier, donc <math>\(g = 1\)</math> ou <math>\(g = p\)</math>.
    Mais <math>\(1 < a < p\)</math>, donc <math>\(p\)</math> ne peut pas diviser <math>\(a\)</math> et on a bien <math>\(g = 1\)</math>, soit <math>\(a\)</math> et <math>\(p\)</math> sont premiers entre eux.
  2. Le sens réciproque est évident, si <math>\(n = m\)</math> alors <math>\(an = am\)</math> et donc <math>\(an \equiv am \; [p]\)</math>.
    Si maintenant on a <math>\(an \equiv am \; [p]\)</math>, alors <math>\(p\)</math> divise <math>\(a(n - m)\)</math>, mais <math>\(p\)</math> est premier avec <math>\(a\)</math> donc d'après Gauss, <math>\(p\)</math> divise <math>\(n - m\)</math>.
    Mais <math>\(n - m\)</math> est compris entre <math>\(-(p-1)\)</math> et <math>\(p - 1\)</math>, soit <math>\(|n-m| < p\)</math> !
    Le seul multiple de <math>\(p\)</math> qui vérifie cela est <math>\(0\)</math>, donc <math>\(n - m = 0\)</math> et <math>\(n = m\)</math>.
  3. D'après Bézout, <math>\(a\)</math> et <math>\(p\)</math> sont premiers entre eux, donc il existe deux entiers <math>\(b\)</math> et <math>\(k\)</math> tels que <math>\(ab + kp = 1\)</math>, soit <math>\(ab = 1 - kp\)</math> et <math>\(ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
  4. Soit <math>\(q\)</math> le quotient de cette division, on a <math>\(b = pq + a'\)</math> donc <math>\(b \equiv a' \; [p]\)</math>.
    Par conséquent, <math>\(a'\)</math> est non nul (sinon, <math>\(b \equiv 0 \;[p]\)</math> donc <math>\(a b \equiv 0 \times a \equiv 0 \; [p]\)</math>), donc <math>\(0 < a' < p\)</math> et <math>\(a'\)</math> est entier, donc <math>\(a'\)</math> est dans <math>\(E\)</math>.
    De plus, <math>\(a' \equiv b \; [p]\)</math> donc <math>\(aa' \equiv ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.
    Finalement, si <math>\(b'\)</math> était un autre élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(ab' \equiv aa' \; [p]\)</math>, alors on a, d'après la question II.1.b, <math>\(b' = a'\)</math>.
    <math>\(a'\)</math> est bien l'unique élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(aa' \equiv 1\;[p]\)</math>.
  5. En factorisant l'identité remarquable <math>\(a^2 - 1\)</math>, on a <math>\(a^2 \equiv 1 \; [p]\)</math>si et seulement si <math>\((a - 1)(a + 1) \equiv 0 \; [p]\)</math>.
    Cette égalité est vraie si et seulement si <math>\(p\)</math> divise <math>\((a - 1)(a + 1)\)</math>.
    Par conséquent, si <math>\(a - 1 > 0\)</math> et <math>\(a + 1 < p\)</math>, c'est faux, puisqu'alors <math>\(a - 1\)</math> et <math>\(a + 1\)</math> sont premiers avec <math>\(p\)</math>.
    Les seules solutions possibles sont donc <math>\(a = 1\)</math> et <math>\(a = p - 1\)</math>, qui sont bien solutions puisque <math>\((1 - 1)(1 + 1) = 0\)</math> est un multiple de <math>\(p\)</math> et <math>\((p - 1 - 1)(p - 1 + 1) = (p - 2)p\)</math> aussi.
2. Dans tous les cas où <math>\(a \neq 1\)</math> et <math>\(a \neq -1\)</math>, on peut réordonner le produit pour que le terme <math>\(aa'\)</math> se simplifie en <math>\(1\)</math> (modulo <math>\(p\)</math>).
  Par conséquent, si on ne considère que le résultat modulo <math>\(p\)</math>, on a donc <math>\((p-1)! \equiv 1 \times 1 \times ... \times 1 \times (p-1) \; [p]\)</math>, donc <math>\((p-1)! \equiv p - 1 \; [p]\)</math>, or <math>\(p - 1 \equiv -1 \; [p]\)</math> et on obtient bien le résultat.
<math>\(p\)</math> divise <math>\((p-1)! + 1\)</math>, donc il existe un entier <math>\(k\)</math> tel que <math>\((p-1)! + 1 = kp\)</math>, soit <math>\(kp - (p-1)! = 1\)</math>, donc d'après Bézout, <math>\(p\)</math> est <math>\((p-1)!\)</math> sont premiers entre eux.
Soit alors <math>\(n\)</math> un entier compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math>, alors il est dans le produit <math>\(1 \times 2 \times ... \times (p-1)\)</math>, donc d'après l'égalité ci-dessus on a <math>\(kp - [1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times (n+1) \times ... \times (p-1)] \times n = 1\)</math> et <math>\(p\)</math> et <math>\(n\)</math> sont premiers entre eux d'après Bézout.
Par conséquent, si <math>\(n\)</math> est un entier entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math> qui divise <math>\(p\)</math>, cela ne peut être que <math>\(1\)</math> (car alors <math>\(PGCD(p, n) = n = 1\)</math>), et on en déduit que <math>\(p\)</math> est premier.

</secret>

P.S. : Oups en effet désolé pour le "théorême", mauvais réflexe des doigts qui vont automatiquement chercher un accent circonflexe... Je corrige ça de suite.

candide

19 décembre 2010 à 13:39:56

Citation : cbasile06

Est-ce que rédigé comme ceci (voir plus bas) cela serait mieux ?

Bel effort de clarification. Néanmoins, je persiste à penser que cet exercice est lourd à prouver quand on n'a pas les bons outils (groupes, anneaux, corps). Arnaudiès & Fraysse donnent exactement la même preuve (et en abrégé disent-ils eux-mêmes) dans leur tome 1 et qui prend déjà une bonne dizaine de lignes.

-AMS-

20 décembre 2010 à 13:01:56

De mon côté j'ai bien aimé la démonstration dans la mesure où il n'a pas eu vraiment besoin d'introduire explicitement des notions d'algèbres abstraite (Hors programme de TS) pour démontrer le théorème

!

(Y)

Knives Out

20 décembre 2010 à 19:05:36

Citation : cbasile06

Est-ce que rédigé comme ceci (voir plus bas) cela serait mieux ?
<secret>
[Terminale S Spé Maths] [Arithmétique] Théorème de Wilson ****

Notation :
Si <math>\(n\)</math> est un entier, <math>\(n! = 1 \times 2 \times ... \times n\)</math> (lire "factorielle n") est le produit de tous les entiers de <math>\(1\)</math> à <math>\(n\)</math>.

Le but de cet exercice est de montrer le théorème de Wilson : un entier <math>\(p\)</math> strictement supérieur à <math>\(1\)</math> est premier si, et seulement si, <math>\((p-1)! \equiv -1 \; [p]\)</math>.

Vérifier que le théorème est vrai pour <math>\(p = 2\)</math> et <math>\(p = 3\)</math>.

Soit <math>\(p\)</math> un nombre premier. On note <math>\(E = {1, 2, ..., p-1}\)</math> l'ensemble des entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p - 1\)</math>.

Préliminaires.
Soit <math>\(a\)</math> un élément de <math>\(E\)</math>.

Montrer que <math>\(a\)</math> est premier avec <math>\(p\)</math>.

Soit <math>\(n\)</math> et <math>\(m\)</math> deux éléments de <math>\(E\)</math>. Montrer que <math>\(a n \equiv a m \; [p] \Leftrightarrow n = m\)</math>.

Montrer qu'il existe un entier <math>\(b\)</math> tel que <math>\(ab \equiv 1 \; [p]\)</math>.

Soit <math>\(a'\)</math> le reste de la division euclidienne de <math>\(b\)</math> par <math>\(p\)</math>, montrer que <math>\(a'\)</math> est le seul élément de <math>\(E\)</math> tel que <math>\(aa' \equiv 1 \; [p]\)</math>.
<math>\(a'\)</math> est appelé "inverse de <math>\(a\)</math> modulo <math>\(p\)</math>".

Montrer que <math>\(a^2 \equiv 1 \; [p] \Leftrightarrow a = 1 \;\mathrm{ou}\; a = p-1\)</math> (<math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math> sont les seuls éléments qui sont leurs propres inverses modulo <math>\(p\)</math>).

Preuve du sens direct : En regroupant, quand c'est possible, chacun des termes avec son inverse modulo <math>\(p\)</math> dans le produit <math>\(1 \times 2 \times ... \times (p-1)\)</math>, montrer que <math>\((p-1)! \equiv -1 \;[p]\)</math>.

Réciproque : soit <math>\(p\)</math> un entier tel que <math>\((p-1)! \equiv -1 \; [p]\)</math>.
Montrer que <math>\(p\)</math> est premier avec <math>\((p-1)!\)</math>.
En déduire que <math>\(p\)</math> est premier avec tous les entiers compris entre <math>\(1\)</math> et <math>\(p-1\)</math>, puis conclure sur la primalité de <math>\(p\)</math>.

Présenté comme ceci, l'exercice est déjà beaucoup plus abordable. Il n'en demeure pas moins difficile, mais pas autant que dans ton message de samedi dernier, où nous nous trouvions à la limite du faisable pour un élève de Terminale S.

cbasile06

20 décembre 2010 à 19:15:30

Je change l'énoncé alors (de toute façon j'aurai dû le faire en même temps que je postais mon message précédent, je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas fait).

candide

20 décembre 2010 à 20:31:21

Citation : cbasile06

Je change l'énoncé alors (de toute façon j'aurai dû le faire en même temps que je postais mon message précédent, je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas fait).

Je me dis que si j'avais eu à découvrir la démonstration du théorème de Wilson, j'aurais voulu que l'on me présente un exemple qui illustre la démonstration, ça peut beaucoup aider à comprendre (ou à comprendre plus vite). Ainsi:

Prenons le nombre premier p=11. Les congruences qui suivent le sont modulo p. D'abord, on vérifie que

<math>\((p-1)!=2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10=3628800=11*3628790+10\equiv 10\equiv -1\)</math>.

Pour comprendre, on regroupe par paires les facteurs 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en sorte que le produit soit 1 plus un multiple de p, par exemple, 5 est couplé à 9 car <math>\(9\times 5=45=44+1\equiv 1\)</math>. Ainsi

<math>\(P=2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10=(2\times 6)\times (3\times 4)\times (5\times 9)\times (7\times 8)\times 10 \equiv 1\times 1\times 1\times 1\times 10\equiv 10\equiv -1\)</math>

Yaahhrr

26 décembre 2010 à 18:52:46

Montrons par double implication :
(Sens plus simple)
Supposons <math>\((p-1)! = -1[p]\)</math> auquel cas, il existe une relation de Bezout entre p tous les entiers strictement inférieurs à p. Donc p est premier.

(Sens plus compliqué)
On sait que <math>\(a\)</math> est inversible modulo <math>\(b\)</math> ssi <math>\(a \wedge b = 1\)</math> ie <math>\(\forall k \in [[0,p-1]], \exists k' in [[0,p-1]], kk' = 1 [p]\)</math>. En d'autres termes, si on fait le produit des nombres de 0 à p-1 on peut regrouper les nombres avec leurs inverses. Ils ne restent que les nombres qui sont leurs propres inverses ie : -1 et 1. D'où <math>\((p-1)! = -1 [p]\)</math>

Si c'est pas clair je peux mieux expliquer

Maxima

27 décembre 2010 à 0:32:00

Jolie, mais il y a des notions de MPSI (les inversibles de <math>\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)</math> par exemple)

cbasile06

27 décembre 2010 à 10:29:59

@Yaahhr, oui c'est le principe d'une démonstration en prépa.
Sauf qu'en prépa, c'est presque seulement un exercice d'application du cours, et que je pense qu'aucun élève de TS (qui n'a pas de notions de mathématiques hors de ce qu'il a appris en cours, bien sûr) ne serait capable de comprendre ce que tu as écris ; c'est parce que c'est un exercice relativement "simple" en prépa, mais coriace en TS que je voulais le proposer à ce niveau-ci et non pas à celui-là.
D'ailleurs, ton "sens plus compliqué" est assez mal justifié (et faux en plus, <math>\(0\)</math> n'est pas inversible et n'est pas pris en compte dans la factorielle), en particulier il faudrait justifier que <math>\(-1\)</math> et <math>\(1\)</math> sont les seuls éléments inversibles de <math>\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)</math> (le nombre de racines d'un polynôme dans un corps commutatif est inférieur ou égal à son degré).
Et puis en prépa, c'est plus joli en utilisant les classes d'équivalence plutôt que la notation avec les congruences.

@candide, j'avais pas vu ton exemple. Oui en effet, c'est une très bonne idée, je vais essayer d'intégrer ça à l'énoncé.
Dans l'énoncé en tant qu'indication, ou alors peut-être dans la "correction", je ne sais pas en fait.

Yaahhrr

27 décembre 2010 à 12:37:10

dire que 1 et -1 sont leurs propres inverses c'est assez simple : Soit <math>\(k \in [[1,p-1]], k^2 = 1 [p]\)</math> On a : <math>\(p \| k^2-1\)</math> D'où <math>\(p \| (k-1)(k+1)\)</math> c'est à dire : <math>\(k \in \{-1,+1\}\)</math> et réciproquement c'est évident. Je me suis chitsu sur le 0 par contre

PS : Ce théorème était dans mon cours de TS ...

EDIT : Pas réussi le signe "divise"

Abelmondo

27 décembre 2010 à 14:22:07

Citation : Yaahhrr

Ce théorème était dans mon cours de TS...

Mouais, d'après ce que j'ai pu comprendre, ton cours de TS était assez élargi, et est loin d'un cours de TS normal (pas étonnant que les S1 se démerdent bien en prépa...).

Mais dans mes souvenirs, j'avais démontré le théorème de Wilson en TS, mais dans un exercice assez détaillé, pas comme en sup où l'énoncé était directement proposé, et donnait également une généralisation pour le produit des éléments inversibles d'un corps commutatif.

Cromwell05

5 janvier 2011 à 22:29:27

Citation : candide

Citation : Knives Out

Je ne suis même pas certain que, statistiquement, 2% des élèves parviennent à démontrer ce théorème sans que les principales étapes de la démonstration soient révélées comme c'est habituellement le cas lors des exercices faits en cours.

Cela ne correspond tout simplement pas au genre d'exercices qu'on fait dans l'année. Ne confondons pas les exercices de MPSI et ceux de Terminale...

Totalement d'accord, donner ce genre de démonstration sous forme d'exercice est complètement absurde voire ridicule, seul 1 élève de terminale sur 10000 peut être capable de produire seul ce genre de démonstration. Donc, il faut donner un exercice guidé, avec les étapes. Au demeurant, j'ai vu la preuve que tu proposes, c'est carrément lourd, ne rien connaître sur les anneaux rend la démonstration particulièrement obscure.

L'argument du niveau des connaissances utilisées ici est un argument particulièrement factice. Il existe un très grand nombre de démonstrations de résultats plus ou moins connus qui ne nécessitent que des résultats plus ou moins élémentaires et qui pourtant n'ont été découvert que très tardivement, après que des démonstrations bien plus compliquées aient été données.

EDIT Pour un matheux, il est fâcheux d'écrire théorème avec un accent circonflexe ...

Tu te trompes, une fois que l'exercice est guidé, il est faisable en 10 minutes montre en main.
Je suis en TS Maths, et je suis sûr qu'au moins 5 personnes sur les 17 élèves de ma classe sont capable de faire cet exercice.

Je parle de la deuxième version de son énoncé biensûr