Bonjour à tous, je bloque sur la fin d'un exercice de math je fais donc appel à votre aide.

Toutes les fonctions sont définies sur ]0 ; +inf [

Dans un repère orthonormé, on a Tau la courbe représentative de la fonction ln, A un point de coordonnées (0;2) et M un point de Tau d’abscisse x, donc de coordonnées (x;ln x) si je ne me trompe pas.

J'ai montré à l'aide des questions précédente que la distance AM = g(x) = √f(x) = √x² +(2 - ln x)². (c'est la racine carré du tout)

J'ai montré que g avais les même variations que f et que f était décroissante puis croissante avec un minimum en x = a, avec 1.31<a<1.32 (avec le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur f'(x)).

L'exercice dit : Montrer que la distance AM est minimale en un point de Tau, noté P, dont on précisera les coordonnées. 

La distance minimale est donc la plus petite valeur atteinte par g(x), donc g(a) or P est un point de Tau, j'en conclu que ces coordonnées sont (a; ln a).

Je bloque ensuite car je dois ensuite montrer que la distance AP = a√1+a² et je n'arrive pas à trouver ce résultat. Me suis-je trompé sur une question précédente ?

Merci beaucoup.

-
Edité par MOC- 13 janvier 2018 à 15:38:58

Bonjour ! J'ai regardé rapidement, c'est juste une petite astuce. Est-ce que tu saurais démontrer que ln(a) = 2 - a² ? (Ça provient de f'(a) = 0.) Dans le calcul de AP, tu dois aussitôt remplacer ln(a) par 2 - a².

Merci pour l'astuce, j'ai réussi trouver le résultat à partir de f'(a) = 0.

Par contre je pense pas que je serais le refaire dans un autre contexte, comment à tu fais pour trouvé la réponse ?

T as dit dans la première question que : 1.31<a<1.32

C'est bien, ça permet d'avoir un ordre de grandeur pour a, mais pour réexploiter a dans les questions suivantes, ça ne sert à rien. Ce a qui vaut entre 1.31 et 1.32, il est solution d'une certaine équation, ici f'(a)=0. Et c'est forcément cette équation qu'il faut réutiliser. Pas d'autre choix.

Au début, on a l'impression qu'il nous manque une donnée. Tu n'as pas eu cette impression ? Donc je me suis dit : il faut trouver une autre propriété sur a (comme c'est une exercice scolaire, je me doute qu'il y en a une, j'ai confiance). Ah mais oui : f'(a) = 0 donc...

J'imagine que c'est aussi une question d'habitude.

D'accord merci pour vos réponses.