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Exercice : fonctions réciproques

Sujet résolu
    27 décembre 2010 à 16:45:16

    Salut à tous :)
    Voilà, j'ai un petit exercice sur les fonctions réciproques, que j'ai trouvé un peu dur. Je le poste ici, d'une part pour ceux qui seront intéressés, et d'autre part pour vérifier mon travail :-° . (Plus exactement la dernière question : en fait, je n'ai pas pu la poster toute seule parce qu'elle me parait fortement liée à l'exercice :( )

    Énoncé :
    1°/ Soit <math>\(f\)</math> la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R}_{+}\)</math> par <math>\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\)</math>.
    a) Montrer que <math>\(f\)</math> est dérivable sur <math>\(\mathbb{R}_{+}\)</math>.
    b) Montrer que pour tout <math>\(x \ge 0\)</math>, <math>\(x - \frac{x^2}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>.
    c) Montrer que la fonction <math>\(u\)</math> définie sur <math>\([0, 1]\)</math> par <math>\(u(x) = x - \frac{x^2}{2}\)</math> réalise une bijection de <math>\([0, 1]\)</math> sur <math>\(\left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math> et expliciter <math>\(u^{-1}(x)\)</math> pour tout <math>\(x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right]\)</math>.

    2°/ Soit <math>\(g\)</math> la fonction définie sur <math>\(\mathbb{R}_{+}\)</math> par <math>\(g(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}}\)</math> et <math>\(C_{g}\)</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math>\((o, \vec{i}, \vec{j})\)</math>.
    a) Interpréter graphiquement la double inégalité démontrée en 1°/b).
    b) Montrer que <math>\(g\)</math> réalise une bijection de <math>\(\mathbb{R}_{+}\)</math> sur <math>\(\mathbb{R}_{+}\)</math>. On note <math>\(g^{-1}\)</math> la fonction réciproque de <math>\(g\)</math>.
    c) Tracer dans le même repère les courbes <math>\(C_{g}\)</math>, <math>\(C_{g^{-1}}\)</math>, <math>\(C_{u}\)</math> et <math>\(C_{u^{-1}}\)</math>.

    3°/ Soit <math>\((U_{n})\)</math> la suite définie sur <math>\(\mathbb{N}\)</math> par <math>\(U_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)</math> et <math>\(U_{n + 1} = g^{-1}(U_{n})\)</math>, <math>\(n \ge 0\)</math>.
    a) Montrer que <math>\((U_{n})\)</math> est croissante.
    b) Montrer que <math>\((U_{n})\)</math> est non majorée.
    c) En déduire <math>\(\lim_{n \to +\infty} U_{n}\)</math>.

    4°/a) En utilisant la question 2°/c), justifier que pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>, <math>\(x \le g^{-1}(x) \le 1 - \sqrt{1 - 2x}\)</math>.
    b) En déduire la limite de la suite <math>\((V_{n})\)</math> définie par <math>\(V_{n} = ng^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)\)</math>.

    Mon travail :
    1°/
    1°/ <math>\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \qquad \qquad D_{f} = \mathbb{R}_{+}\)</math>

    a) <math>\(x \mapsto x + 1\)</math> est dérivable et strictement positive sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(x \mapsto \sqrt{x + 1}\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et ne s'annule en aucun réel de <math>\([0, +\infty[\)</math>. Ainsi, <math>\(f\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(x \ge 0\)</math>,

    <math>\(f'(x) = \frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{x + 1} = -\frac{1}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}\)</math>

    b) <math>\(\bullet\)</math> Soit <math>\(x \ge 0\)</math>

    <math>\(x + 1 \ge 1\)</math> d'où <math>\(\sqrt{x + 1} \ge 1\)</math>

    d'où <math>\(2(x + 1)\sqrt{x + 1} \ge 2\)</math>

    d'où <math>\(0 \le \frac{1}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} \le \frac{1}{2}\)</math>

    d'où <math>\(-\frac{1}{2} \le f'(x) \le 0\)</math>

    Ainsi, pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>, <math>\(-\frac{1}{2} \le f'(x) \le 0\)</math>.

    <math>\(\bullet~\cdot\)</math> Soit <math>\(x \in ]0, +\infty[\)</math>

    On a <math>\(f\)</math> est continue sur <math>\([0, x]\)</math> et dérivable sur <math>\(]0, x[\)</math> et pour tout <math>\(t \in ]0, x[~~-\frac{1}{2} \le f'(t) \le 0\)</math>

    ainsi <math>\(-\frac{1}{2}(x - 0) \le f(x) - f(0) \le 0(x - 0)\)</math>

    d'où <math>\(-\frac{1}{2}x \le f(x) - 1 \le 0\)</math>

    d'où <math>\(-\frac{1}{2}x + 1 \le f(x) \le 1\)</math> et <math>\(x > 0\)</math>

    d'où <math>\((-\frac{1}{2}x + 1)x \le \frac{1}{\sqrt{x + 1}}x \le x\)</math>

    d'où <math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

    <math>\(\cdot\)</math> Soit <math>\(x = 0\)</math>

    On a <math>\(0 - \frac{0^{2}}{2} \le \frac{0}{\sqrt{0 + 1}} \le 0\)</math> (vérifiée)

    Par suite pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

    <math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

    c) <math>\(u(x) = x - \frac{x^{2}}{2}\)</math> ; <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

    On a <math>\(u\)</math> est dérivable sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> en particulier sur <math>\([0, 1]\)</math> et pour tout <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

    <math>\(u'(x) = 1 - x \ge 0\)</math>

    <math>\(u'(x) = 0\)</math> ssi <math>\(x = 1\)</math>

    Ainsi, <math>\(u\)</math> est strictement croissante sur <math>\([0, 1]\)</math>.
    <math>\(u\)</math> est continue et strictement croissante sur <math>\([0, 1]\)</math> d'où <math>\(u\)</math> réalise une bijection de <math>\([0, 1]\)</math> sur <math>\(u([0, 1]) = [u(0), u(1)] = \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>
    Soit <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

    on pose <math>\(y = u^{-1}(x)\)</math>

    on obtient <math>\(u(y) = x\)</math>

    <math>\(u(y) = x\)</math> éq à <math>\(y - \frac{y^{2}}{2} = x\)</math>

    éq à <math>\(-y^{2} + 2y - 2x = 0\)</math>

    <math>\(\Delta = 4 - 8x\)</math>

    <math>\(y = \frac{-2-\sqrt{4-8x}}{-2}\)</math> ou <math>\(y = \frac{-2+\sqrt{4-8x}}{-2}\)</math>

    On a <math>\(0 \le x \le \frac{1}{2}\)</math>

    d'où <math>\(0 \le 2x \le 1\)</math>

    d'où <math>\(0 \le 1-2x \le 1\)</math>

    d'où <math>\(0 \le \sqrt{1-2x} \le 1\)</math>

    d'où <math>\(0 \le 1-\sqrt{1-2x} \le 1\)</math> et <math>\(1 \le 1+\sqrt{1-2x} \le 2\)</math>

    Or <math>\(y \in [0, 1]\)</math>

    d'où <math>\(y = 1-\sqrt{1-2x}\)</math>

    Par suite pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

    <math>\(u^{-1}(x) = 1 - \sqrt{1 - 2x}\)</math>


    2°/
    2°/ <math>\(g(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \qquad \qquad D_{g} = \mathbb{R}_{+}\)</math>

    a) On a pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

    <math>\(x - \frac{x^{2}}{2} \le \frac{x}{\sqrt{x + 1}} \le x\)</math>

    D'où pour tout <math>\(x \in [0, 1]\)</math>

    <math>\(u(x) \le g(x) \le x\)</math>

    Par suite la courbe <math>\(C_{u}\)</math> est au dessous ou sur la courbe <math>\(C_{g}\)</math> et la courbe <math>\(C_{g}\)</math> est au dessous ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.

    Et pour tout <math>\(x \in ]1, +\infty[\)</math>

    <math>\(g(x) \le x\)</math>

    D'où <math>\(C_{g}\)</math> est au dessous ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.

    b) <math>\(x \mapsto x + 1\)</math> est dérivable et strictement positive sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(x \mapsto \sqrt{x + 1}\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et ne s'annule en aucun réel de <math>\([0, +\infty[\)</math>, ainsi, <math>\(g\)</math> est dérivable sur <math>\([0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(x \in [0, +\infty[\)</math>

    <math>\(g'(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - \dfrac{x}{2\sqrt{x + 1}}}{x + 1}\)</math>

    <math>\(g'(x) = \frac{x + 2}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} > 0\)</math>

    Ainsi, <math>\(g\)</math> est strictement croissante sur <math>\([0, +\infty[\)</math>.
    <math>\(g\)</math> est continue et strictement croissante sur <math>\([0, +\infty[\)</math> d'où <math>\(g\)</math> réalise une bijection de <math>\([0, +\infty[\)</math> sur <math>\(g([0, +\infty[) = [g(0), \lim_{+\infty}g[ = [0, +\infty[\)</math>.

    (<math>\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{1 + \dfrac{1}{x}} = +\infty\)</math>)

    c) <math>\(\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1}} = 0\)</math>

    D'où, <math>\(C_{g}\)</math> admet une branche infinie parabolique de direction celle de <math>\((o, \vec{i})\)</math> au voisinage de <math>\(+\infty\)</math>.

    Image utilisateur


    3°/
    3°/ <math>\((U_{n}) : \begin{cases} U_{0} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ U_{n+1} = g^{-1}(U_{n})\end{cases} \qquad n \in \mathbb{N}\)</math>

    a) On a <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>

    D'où, pour tout <math>\(x \ge 0\)</math>

    <math>\(g^{-1}(x) - x \ge 0\)</math>

    <math>\(U_{n+1} - U_{n} = g^{-1}(U_{n}) - U_{n} \ge 0\)</math>

    D'où, <math>\((U_{n})\)</math> est croissante.

    b) On suppose que <math>\((U_{n})\)</math> est majorée par un réel <math>\(M \in [0, +\infty[\)</math>
    On a <math>\((U_{n})\)</math> est croissante et majorée par <math>\(M\)</math> d'où, <math>\((U_{n})\)</math> converge vers un réel <math>\(l \in [0, +\infty[\)</math> et pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\(U_{n} \le l\)</math>.
    On a :
    <math>\(\cdot ~ U_{n+1} = g^{-1}(U_{n})\)</math>

    <math>\(\cdot ~ \lim_{n \to +\infty} U_{n} = l ~~ ; l \in [0, +\infty[\)</math>

    <math>\(\cdot ~ g^{-1}\)</math> est continue sur <math>\([0, +\infty[\)</math> en particulier en <math>\(l\)</math>.

    Ainsi, <math>\(g^{-1}(l) = l\)</math>

    <math>\(g^{-1}(l) = l\)</math> éq à <math>\(l = 0\)</math>

    Or : on a pour tout <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\(U_{n} \le l\)</math>

    En particulier, <math>\(U_{0} \le l\)</math>

    D'où, <math>\(\frac{1}{\sqrt{2}} \le 0\)</math>impossible

    Par suite, <math>\((U_{n})\)</math> est non majorée.

    c) On a <math>\((U_{n})\)</math> est croissante et non majorée d'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} U_{n} = +\infty\)</math>


    4°/
    4°/ a) D'après le graphique, pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>, la courbe <math>\(C_{u^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la courbe <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> et la courbe <math>\(C_{g^{-1}}\)</math> est au dessus ou sur la droite <math>\(\Delta : y = x\)</math>.
    Ainsi, pour tout <math>\(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\)</math>

    <math>\(x \le g^{-1}(x) \le u^{-1}(x)\)</math>

    d'où <math>\(x \le g^{-1}(x) \le 1 - \sqrt{1 - 2x}\)</math>

    b) <math>\(V_{n} = ng^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) \qquad n \in \mathbb{N}^{*}\)</math>

    Soit <math>\(W_{n} = \frac{1}{n} ~~ ; ~~ n \in \mathbb{N}^{*}\)</math> et <math>\(h(x) = \frac{g^{-1}(x)}{x} ~~ ; ~~ x \in ]0, +\infty[\)</math>

    <math>\(\lim_{n \to +\infty} W_{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)</math>

    <math>\(\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x) - g^{-1}(0)}{x - 0}\)</math>

    On a <math>\(g\)</math> est dérivable en <math>\(0\)</math> et <math>\(g'(0) = 1 \neq 0\)</math> d'où <math>\(g^{-1}\)</math> est dérivable en <math>\(0\)</math> et

    <math>\((g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{1} = 1\)</math>

    D'où, <math>\(\lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{g^{-1}(x) - g^{-1}(0)}{x - 0} = (g^{-1})'_{d}(0) = (g^{-1})'(0) = 1\)</math>

    Ainsi <math>\(\lim_{n \to +\infty} h(W_{n}) = 1\)</math>

    D'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} V_{n} = 1\)</math>

    Le problème c'est que la question b) doit être une déduction, alors qu'ici je n'ai pas déduit. En fait, la première chose qui saute aux yeux c'est l'encadrement de <math>\(g^{-1}(x)\)</math> dans la question a) qui permet de calculer sa limite en <math>\(0\)</math> :

    <math>\(\lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 - 2x} = 0\)</math>

    D'où <math>\(\lim_{x \to 0} g^{-1}(x) = 0\)</math>

    <math>\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\)</math>

    Et <math>\(\lim_{x \to 0} g^{-1}(x) = 0\)</math>

    D'où <math>\(\lim_{n \to +\infty} g^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) = 0\)</math>

    Mais, ça ne mène nulle part puisque

    <math>\(\lim_{n \to +\infty} n = +\infty\)</math>

    On obtient donc une forme indéterminée <math>\(+\infty \times 0\)</math>.


    Merci d'avance pour votre lecture et votre aide :) .
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      28 décembre 2010 à 2:15:07

      Salut
      Concernant la question 1 en voici une réponse:
      Il faut savoir que toute fonction définit sur un intervalle ouvert est continue et dérivable sur ce meme intervalle donc le problème se trouve sur un intervalle fermé
      mais pour cela tu affirme que la fonction est définit sur l'intervalle ouvert et tu étudie la dérivabilité de la fonction en ses bornes.Donc par rapport a ton exercice tu dis que cette fonction est dérivable sur l'intervalle ]0;->[ et tu étudie la dérivabilité en 0
      Donc cela révient à un simple calcul de limite
      Si cette limite existe et est finie alors du dira que la fonction est dérivable en 0 donc dérivable sur [0;->[
      Dans le cas contraire elle n'est pas dérivable en 0 donc pas sur l'intervalle [0;->[

      Pour les réponses des autres questions je t'écrirai plus tard
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        28 décembre 2010 à 11:18:02

        Tu utilises mal l'inégalité de la 4)a).

        Ce qu'il faut voir, c'est que pour <math>\(n \geq 2\)</math>, on a <math>\(\frac{1}{n} \in \left[ 0;\frac{1}{2} \right]\)</math>.

        Donc <math>\(\forall n \geq 2,\ \frac{1}{n} \leq g^{-1}(\frac{1}{n}) \leq 1 - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\)</math>.
        On multiplie le tout par n (n>0) pour obtenir :
        <math>\(\forall n \geq 2,\ 1 \leq V_n \leq n \left( 1- \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right)\)</math>

        La question revient donc à montrer : <math>\(n \left( 1- \sqrt{1 - \frac{2}{n}} \right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1\)</math>.


        EDIT : en quelle classe es-tu ? Histoire que l'on adapte notre discours à ton niveau.
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          28 décembre 2010 à 23:17:34

          Ah ouais, ça m'a échappé :D ! Ça, c'est une déduction ! Merci :)

          En fait, <math>\(\lim_{n \to +\infty} n \left(1 - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n \left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{2}{n}}\right) \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{2}{n}}\right)}{\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{2}{n}}\right)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{2}{n}}\right)} = 1\)</math>

          Citation : Pierre89

          EDIT : en quelle classe es-tu ? Histoire que l'on adapte notre discours à ton niveau.


          Euuh, je suis en bac (Tunisie) ! Je ne sais à quoi ça peut correspondre dans le système français.

          J'ai une dernière petite question : le raisonnement que j'ai fait, pour cette question, est-ce-qu'il est correct, s'il ne s'agit pas d'une déduction bien sûr ?

          @POMZO : Désolé, je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire. Merci quand même :) .
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            29 décembre 2010 à 17:34:54

            Citation : HighTam

            J'ai une dernière petite question : le raisonnement que j'ai fait, pour cette question, est-ce-qu'il est correct, s'il ne s'agit pas d'une déduction bien sûr ?



            A première vue, ça m'a l'air bon (mais plus compliqué que ce qui est demandé ;) ). Pour être tout à fait clair, il faudrait bien préciser que h est continue lors de la composition des limites.
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            Exercice : fonctions réciproques

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