[Lycée, section S][trigonométrie] Longueur d'une corde *

Sur la figure précédente, la longueur de l'arc de cercle intercepté par l'angle au centre <math>\(\alpha\)</math> est par définition <math>\(\overset{\frown}{AB} = \alpha r\)</math> (si <math>\(\alpha\)</math> en radian)

Donner l'expression de la longueur de la corde (du segment) <math>\([AB]\)</math>.

C'est tout

Note : Cet exercice demande très peu de connaissance si on si prend bien, sinon c'est un peu plus laborieux mais encore largement faisable par un élève en section S.

Une petite loi des sinus (triangle isocèle) donne :
<math>\(AB = r*\text{Csc}\left[\frac{1}{2} (\pi -\alpha)\right] \text{sin}[\alpha]\)</math> ?

C'est encore simplifiable d'une part, d'autre part un peu plus d'explication serait souhaitable.
Enfin quand on donne la solution à un exercice sur un forum il est d'usage de la mettre en secret

Oui, ça fait <math>\(\frac{rsin(\alpha)}{cos(\alpha/2)}=2r*sin(a/2)\)</math> (formule de dédoublement).
Mais honnêtement, je comprend pas trop l'intérêt de l'exercice, c'est une application directe d'une formule...

Non non, encore simplifiable.
Et l'intérêt de l'exercice est là d'ailleurs. Tu peux toujours dire que ce n'est que des calculs et patati et patata. Mais le fait est que ça demande une bonne aisance en trigo, ce qui est loin d'être le cas de tous les élèves.
Et encore une fois balancer une réponse ainsi n'a aucune valeur, explicites ce que tu fais.

D'après Al-Kashi, on a :
<math>\(AB = \sqrt{r^2 + r^2 - 2r^2\cos{\alpha}}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow AB = r \sqrt{2(1 - \cos{\alpha})}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow AB = 2 r \sqrt{\frac{1 - \cos{\alpha}}{2}}\)</math>
<math>\(\Leftrightarrow AB = 2 r \sin{\frac{\alpha}{2}}\)</math>

Al-Kashi, je l'avais oublié ce diable là...

Salut,
Je pense que l'intérêt de cet exercice est justement de retrouver la formule <math>\(AB=2r\sin(\frac{\alpha}{2})\)</math>

Pour faire cela, il suffit de connaitre la définition (version 3ème) du sinus et penser donc à faire apparaitre un triangle rectangle.




je vous laisse conclure !

Comme <math>\(OAB\)</math> est isocèle, <math>\(\widehat{OAB} = \frac{\pi - \alpha}{2}\)</math>
Par la loi des sinus, <math>\(\frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{r}{\sin\frac{\pi-\alpha}{2}}\)</math> Dès lors

<math>\(AB = \frac{r\sin\alpha}{\sin\frac{\pi-\alpha}{2}} = \frac{2r\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = 2r\sin\frac{\alpha}{2}\)</math>

Je ne connaissais pas la "loi des sinus". L'idée que j'avais en tête était celle de zungiri.

la façon la plus élémentaire est sans doute de tracer la bissectrice de alpha qui est aussi hauteur pour le triangle isocèle
Il suffit alors de connaitre simplement la définition du sinus pour obtenir sin(alpha/2)=AB/2r d'où le résultat.