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Exercice Maths Terminal proba

exercice du digicode

Sujet résolu
    8 janvier 2022 à 10:09:18

    Bonjour voici le sujet:

    Un digicode permet d'ouvrir un portail. Le code est formé par les chiffres de 0 à 9 ainsi que des lettres A et B. On sait que
    le code est composé de cinq caractères. On dispose de trois essais avant de bloquer le système.

    a) Quelle est la probabilité d'ouvrir le portail avant blocage du système ? On donnera le résultat sous la forme « 15
    chances sur 312 »

    Donc selon moi puisque le code est composé de 5 caractères il y a 3 façon de le formé :

    -5 chiffres et donc 0 lettre   (E1)

    -4 chiffres et 1 lettre   (E2)

    -3 chiffres et 2 lettres  (E3)

    voici mon début de raisonnement :

    E1= 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =100000

    E2= 10 x 10 x 10 x 10 x 2 =20000

    E3= 10 x 10 x 10 x 2 x 2 =4000

    il y a donc 100000+20000+4000=124000 code possible 

    on a donc 3 chance sur 124000 

    Je ne sais pas du tout si mon début de raisonnement est correct j'attend vos retour avec impatience merci par avance d'avoir pris du temps pour moi .

    -
    Edité par Pierre T 8 janvier 2022 à 10:17:23

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      8 janvier 2022 à 13:18:18

      Bonjour ! Tu supposes qu'il ne peut pas y avoir plus de 2 lettres dans le code, donc que les chiffres et les lettres du code ne peuvent pas se répéter, c'est bien ça ? Pourquoi ? On ne peut pas avoir pour code AAAAA par exemple ? (Pourtant quand tu calcules des 10×10×10×... et des 2×2 tu supposes qu'un(e) même lettre/chiffre peut se répéter plusieurs fois.

      Si on peut répéter les chiffres et lettres, le calcul du nombre de codes possibles est très simple (12⁵ ?). (Si on ne peut pas répéter les chiffres et lettres, je crois que ce serait un arrangement de 5 parmi 12 mais je ne suis pas sûr.)

      Maintenant, ce calcul ne répond pas à la question 1. L'ouverture du portail en tapant un code au hasard est un schéma de Bernoulli : une expérience échec/réussite avec une certaine probabilité de réussite (1 chance sur 12⁵ ?), On réalise trois fois la même expérience réussite/échec, et on cherche la probabilité d'avoir au moins une réussite. Je pense qu'il faut utiliser la loi binomiale. (Ou alors calculer le complémentaire : la probabilité de n'avoir que des échecs est calculable sans se servir de la loi binomiale).

      -
      Edité par robun 8 janvier 2022 à 13:30:52

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        8 janvier 2022 à 15:17:03

        re bonjour , c'est vrai je sais pas pourquoi j'ai pas pensé a qu'il pourrais y avoir que des lettres dans le code par exemple.

        oui c'est vrai maintenant le calcule de code possible est plus simple c'est 12^5=248832

        mais je comprend pas pourquoi la réponse n'est pas du coup 3 chance sur 248832, car on a 3 tentative et 248832 code possible donc c'est comme ca que je le vois .

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          8 janvier 2022 à 19:16:14

          Les probabilités peuvent s'additionner sous certaines conditions. P(A) = P(B) + P(C) si A est la réunion disjointe de B et C. Par exemple si je tire une carte au hasard, la probabilité d'avoir un roi ou une reine (A) est égale à la probabilité d'avoir un roi (B) + la probabilité d'avoir une reine (C) car B et C sont deux événements disjoints : un roi, ce n'est pas une reine, et car l'événement A est bien la somme de B et C.

          Ici tu as envie d'appliquer P(A) = P(B) + P(C) + P(D), avec :

          • A = taper au moins une fois le bon code.
          • B = taper le bon code la première fois.
          • C = taper le bon code la deuxième fois.
          • D = taper le bon code la troisième fois.

          Il est faux de dire que A = B union C union D (par exemple A peut être vrai sans que B le soit, il suffit d'avoir tapé le bon code la deuxième ou la troisième fois).

          Il est faux de dire que B, C, et D sont disjoints (par exemple B et C peuvent être vrais simultanément : on a tapé le bon code les deux premières fois).

          Attention : tu dois te baser sur les propriétés ou des schémas connus, pas sur ton intuition (elle n'est pas bonne − à mon avis il faut être un surdoué pour résoudre des problèmes de proba par sa seule intuition, pour ma part je n'en suis pas du tout capable). En particulier introduis des événements A, B, C... ça t'aidera à y voir plus clair.

          Est-ce que tu connais les schémas de Bernoulli et la loi binomiale ?

          -
          Edité par robun 8 janvier 2022 à 19:17:17

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            8 janvier 2022 à 22:17:11

            oui nous avons étudier les schémas de Bernoulli et la loi binomiale.

            Si je me souviens bien c'est répéter n expérience identique avec 2 issues possible , succès ou échec . 

            -
            Edité par Pierre T 8 janvier 2022 à 22:17:47

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              9 janvier 2022 à 6:14:00

              Et je l'ai détaillé dans mon premier message.
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                9 janvier 2022 à 9:19:23

                p= 1 chance sur 12⁵ 

                n=3

                ce que j'ai dans mon cours:

                X est régie par B(n ; p) , k un entier entre 0 et n

                P(X=k)= (k parmi n) x p^k x (1 - p)^n-k


                mais je prend quel valeur pour k ?

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                  9 janvier 2022 à 16:31:26

                  J'ai l'impression que tu es bien largué... :) (*)

                  Que calcule cette formule ? Elle calcule la probabilité d'obtenir exactement k réussites.

                  Toi, ce que tu veux, c'est la probabilité d'obtenir au moins 1 réussite. Donc c'est P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) (là ça s'additionne, parce que les événements (X=1), (X=2) et (X=3) sont disjoints − 1 réussite, c'est pas 2, c'est pas 3 − et forment l'ensemble des cas aboutissant à X ≥ 3).

                  Mais quand on cherche « au moins », il est souvent plus pratique de passer par le complémentaire. Ici, « au moins une réussite » est le complémentaire de « aucune réussite » dont le calcul est simple : c'est P(X=0).

                  Donc tu cherches 1 - P(X=0).

                  (Tout ça, je l'avais dit dans mon premier message, mais je n'avais peut-être pas assez détaillé.)

                  -----

                  (*) Bien que tu sois largué, tu essaies, ce qui permet de savoir où ça pêche. Pour moi, tu n'as pas encore acquis les bons réflexes. Tu t'es lancé immédiatement dans le calcul du 12⁵ (en te compliquant la vie, en plus). À ta place, j'aurais d'abord reconnu le schéma de Bernoulli, mis en évidence une loi binomiale, écrit le calcul 1 - P(0) et, à la fin seulement, calculé le 12⁵. En gros j'aurais d'abord fait le plan et ensuite je serais rentré dans les détails. Je soupçonne que tu n'as pas trop l'habitude de ce genre de raisonnement, et c'est normal si c'est une notion nouvelle. Du coup je me permets un conseil : quand tu profiteras des vacances d'hiver pour tout réviser, revois en priorité les petits exercices de base. Surtout ne travaille pas sur des sujets d'annales tant que tu n'as pas acquis les bons réflexes (reconnaître un schéma de Bernoulli, utiliser le complémentaire, etc.) C'est aussi grâce aux petits exercices de base que tu comprendras le cours (là j'ai peur que tu l'appliques sans le comprendre, ce qui expliquerait pourquoi au début tu voulais tout faire sans les notions du cours). Les petits exercices de base !

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                    9 janvier 2022 à 21:23:26

                    Merci beaucoup pour t'es conseilles et pour ton aide, c'est vrai que en maths cette année c'est plutôt compliquer pour moi. Certains prof ce se rendent pas compte de la quantité de travaille qu'ils donne alors j'essaie de faire tout du mieux que je peux mais certaines fois je suis obliger de "sacrifier" des matière pour en réussir d'autres.

                    la proba du succès est de 1 sur 248832 donc 4.0188x10^-6

                    d'après la calculatrice p(X=0)=0,9999879436

                    avec comme paramètre k = 0 , n=3 , p=4.0188x10^-6

                    mais du coup si on fait 1-P(X=0) on a 1.20564x10^-5

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                    Edité par Pierre T 9 janvier 2022 à 21:24:16

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                      10 janvier 2022 à 11:00:17

                      Attention que le résultat doit être donné sous la forme X chances sur Y, il faut donc calculer les fractions exactes. (J'ai fait le calcul, c'est assez pénible à cause des grands nombres impliqués...)

                      -
                      Edité par robun 10 janvier 2022 à 11:00:47

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                        10 janvier 2022 à 11:15:35

                        lorsque je prend la fraction exacte qui est de 1/248832 AU finale je trouve le même résultat pour P(X=0)

                        -
                        Edité par Pierre T 10 janvier 2022 à 11:16:29

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                          10 janvier 2022 à 13:23:24

                          C'est la probabilité d'ouvrir le portail avant blocage qu'il faut mettre sous la forme d'une fraction. La valeur approchée 1.20564x10^-5 est sûrement correcte (je n'ai pas vérifié, je te fais confiance), mais elle n'est pas écrite sous la forme demandée.

                          -
                          Edité par robun 10 janvier 2022 à 13:23:59

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                            10 janvier 2022 à 14:01:29

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                            donc (0.0000120564x82944=)1 chance sur (100x82944=)8294400

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                              10 janvier 2022 à 14:39:06

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                              La probabilité cherchée est \( P = 1 - (1-p)^3 \) où \( p = \dfrac{1}{12^5} = \dfrac{1}{248\,832} \).

                              Ça donne :

                              \( P = 1 - \left(1 - \dfrac{1}{248\,832} \right)^3 = 1 - \left( \dfrac{248\,831}{248\,832} \right)^3 = 1 - \dfrac{15\,406\,835\,823\,240\,191}{15\,407\,021\,574\,586\,368} \)

                              Finalement :\( P = \dfrac{185\,751\,346\,177}{15\,407\,021\,574\,586\,368} \)

                              On a 185 751 346 177 chances sur 15 407 021 574 586 368 d'ouvrir le portail avant le blocage du système.

                              (Ça fait environ 1,205627871E-05, on a bien le même résultat. Mais la fraction est tellement horrible que j'ai un doute qu'on la demande sous cette forme... Ou alors les calculs sont complètement faux ?)

                              (Ou alors le prof est sadique, mais à ce moment là il aurait exigé la réponse écrite en français : cent-quatre-vingt-cinq milliards sept-cent-cinquante-et-un millions trois-cent-quarante-six mille cent-soixante-dix-sept chances sur quinze millions quatre-cent-sept mille vingt-et-un milliards cinq-cent-soixante-quatorze millions cinq-cent-quatre-vingt-six mille trois-cent-soixante-huit d'ouvrir le portail. Et là je ne suis vraiment pas sûr de moi (je crois que les traits d'union sont corrects dans l'orthographe réformée mais pas tous dans l'ancienne).)

                              -
                              Edité par robun 10 janvier 2022 à 14:46:32

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                                10 janvier 2022 à 14:51:35

                                il est sadique mais je pense pas a ce point . Merci infiniment pour ton aide :D
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