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Exercice Produit tensoriel

    13 juillet 2019 à 22:37:28

    Bonjour à tous. J'apprend le calcul tensoriel dans un livre de math pour la physique, celui de Walter Appel pour ceux qui connaissent. 

    Ce domaine étant nouveau pour moi, je bloque sur un exercice sur le produit tensoriel. Il sert à illustrer un théorème:

    "Pour E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, il existe un unique ensemble à un isomorphisme près, noté E xo F, tel que pour tout espace vectoriel G, l'espace des application linéaire de E xo F dans G est isomorphe à l'espace des applications bilinéaires de ExF dans G. 

    Plus précisément, il existe une application bilinéaire phi: ExF -> E xo F telle que, pour tout espace espace vectoriel G et toute application bilinéaire f: ExF->G, il existe une unique application linéaire f*: E xo F -> G telle que f=f* rond phi (rond est la composition). Phi s'appelle produit tensoriel "

    S'en suit alors l'exercice:

    " Soient n,p des entiers. Si A=(aij) une matrice de carré de dimension n (Mn(C)) et B une matrice carrée de dimension p (Mp(C)) , on a A xo B la matrice d'ordre np définie par bloc par

    A xo B =(a11B ... a1nB)

                 (  ...          ... )

                 (an1B ... annB)

    Montrer que (A,B) -> A xo B réalise un produit tensoriel et que par conséquent Mn(C) xo Mp(C) isomorphe à Mnp(C)."

    D'après les indications, il semblerait que tout ne soit qu'un question de réécriture pour concorder avec le théorème, mais je ne vois rien d'évident. J'ai surement mal compris le théorème et la réponse pourrait vous sembler triviale

    Pour moi, il faudrait montrer que pour toute application bilinéaire f, il existe une unique application linéaire f* telle que f=f* rond phi, ou phi est l'opération définie dans l'énoncé. 

    Cela ne me semble pas être une question de réécriture, d'ou ma confusion. 

    Je vous remercie de votre aide. 

    PS: Je met les versions "propres" du théorème et de l'exercice en image.

    -
    Edité par VincentHardel 13 juillet 2019 à 23:55:13

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      14 juillet 2019 à 10:44:40

      je pense que l'exercice 2 revient à définir le produit tensoriel de deux applications linéaires qui sont des éléments des   espaces vectoriels des applications linéaires entre espaces vectoriels  

      L'ensemble des matrices \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) forme  un espace vectoriel isomorphe à celui de l'ensembles des applications linéaires \(   \mathcal{L}(\mathbb{C^n},\mathbb{C^n}) \) 

      Il faut appliquer le schéma de décomposition de la figure 1.1 aux espaces vectoriels \(E=\mathcal{M}_n\), \(F=\mathcal{M}_p \)

      Comme la propriété universelle est vraie pour tout espace vectoriel \(G\), il suffit de choisir \(G =   \mathcal{L}(\mathcal{M}_n \otimes \mathcal{M}_p,  \mathcal{M}_n \otimes \mathcal{M}_p)  \)  pour définir \(f^{*}\)

      La difficulté est de montrer que la matrice de \(f^{*}\) est bien la matrice bloc proposée, ce qui fait que l'exercice n'est pas une simple réécriture de la propriété universelle du produit tensoriel appliqué à des EV particuliers.. Cette matrice est connue sous le nom de produit de kronecker.  

      Dans le lien suivant, http://robert.rolland.acrypta.com/telechargements/algebre/tensor.pdf  , tu trouveras  un document en plein dans le sujet  où la justification de la matrice bloc de kronecker est traitée au §7.3 ( succinctement). Ici on est dans un cas particulier où les quatre espaces \((E,F,G,H)\) se réduise à 2, \((E=G= \mathcal{M}_n,F=H =\mathcal{M}_p)\). ( le G n'a rien à voir avec le G ici !)

      Le document est globalement ardue, notion relative qui dépend évidemment de ton niveau en maths.  Mais cette façon très abstraite d'aborder le produit tensoriel n'est pas nécessairement la plus simple pour débuter sur  le sujet, même si c'est la plus rigoureuse mathématiquement parlant. Il est assez rare qu'une initiation au produit tensoriel, en particulier pour les physiciens, rentre ex abrupto dans le sujet par cette porte pour purs matheux.

      edit

      on peut consulter aussi le  document ci-après qui est un véritable cours d'algèbre linéaire et multilinéaire qui part  de rappels  assez élémentaires mais devient assez vite plus compliqué  lorsque on avance. L'aspect tensoriel est traitée au chapitre 7   dans une définition initiale un peu différente ( produit tensoriel comme espace quotient) mais qui nous ramène à la même propriété universelle exposée ici : http://livres-mathematiques.fr/onewebmedia/algebremultilineaire7nov.pdf  le § 7.5 traite le produit tensoriel d'applications linéaires et le sous-pargraphe 7.5.4  la justification de la matrice produit tensoriel de deux matrices de façon plus détaillée que dans le document précédent. 

      -
      Edité par Sennacherib 14 juillet 2019 à 15:12:24

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      tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
        14 juillet 2019 à 17:41:57

        Merci beaucoup ! En lisant ces deux documents je comprend mieux les notions de produit tensoriel! Cependant, ce qui me paraît étrange c’est que dans le livre que j’utilise, le chapitre sur les tenseurs commence directement sur le théorème que j’ai mis en image. L’exercice est placé directement après ce théorème. Dans le documents, le produit tensoriel d’application linéaire est démontré après un assez long exposé sur le produit tensoriel de vecteur, etc... . Ici, rien n’a été établit avant le théorème, ce qui suppose donc quil serait possible de résoudre cet exercice directement à partir du théorème, sans aucune autre définition ou propriété. Cela me laisse donc perplexe quant à la qualité de l’ouvrage que j'utilise... on me l’a pourtant fortement recommandé. Auriez-vous dès suggestions de livres pour aborder les tenseurs (dans le but d’etudier la relativité générale) « à la physicienne » mais en conservant une certaine rigueur mathématique? 

        Jz je vous remercie de votre aide.

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          15 juillet 2019 à 10:52:03

          remarque préliminaire: ne sachant pas quels sont vos connaissances de  départ et votre objectif ( personnel, études, ...) en vous attaquent à la RG , il est assez difficile de suggérer des ouvrages, qui dans tous les cas seront assez avancés en maths en particulier. L'écueil ( et c'est assez général pour toute la physique théorique) c'est que on passe très vite de la vulgarisation qui, même bien faite et un peu avancée ,  est à des "années-lumière" du bagage scientifique  nécessaire pour une étude approfondie. 

          Si les tenseurs, objet de votre étude préalable,  sont un outil indispensable pour la RG , ils n'en sont pas selon moi  le cœur qui nécessite une bonne connaissance générale des variétés différentiables.  

          je ne connais du livre en référence que le sommaire que j'ai trouvé sur le Net. Sauf erreur, on consacre 23 pages aux tenseurs. Je vois mal comment on peut y développer une compréhension à l'étude de la relativité générale. Les définitions et quelques propriétés de bases sans doute, encore que on semble partir de la définition mathématique la plus abstraite qui n'est pas nécessairement la plus utile aux physiciens même pour des ouvrages avancés ( je conseillerais plutôt d'aborder les tenseurs en tant que formes multilinéaires , ce que font une majorité d'ouvrage, même si évidemment les conceptions se rejoignent.  C'est une question de goût plus ou moins marqué pour l’abstraction). 

          Le problème, c'est que même après avoir compris la notion de tenseurs  , on n'est guère plus avancé pour une utilisation concrète dans un domaine donné qu’après avoir compris la notion de vecteurs dans un espaces vectoriels dont ils sont une généralisation. 

          En fait en RG, les tenseurs sont à voir comme  un outil qui , dit sommairement,  généralise aux géométries non euclidiennes les outils vectoriels de la géométrie euclidienne. Mais ce n'est pas parce que on connait la définition et les propriétés élémentaires  d'un vecteur sur \(\mathbb{R}^n \) que on est en mesure de faire du calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables de \(\mathbb{R}^n \) dans \(\mathbb{R}^p \) !

          Pour aborder la RG, il faut à mon avis déjà être familiarisé avec la notion de variétés différentiables qui généralise le  calcul différentiel aux espaces non euclidiens. L'aspect le plus  ardu est celui de la différentiation  d'un tenseur en un point   sur une  variété dont la géométrie est caractérisée par son tenseur métrique et dont il est nécessaire de connaitre l'évolution  en chaque point de la variété  ( notions fondamentales de connexions affines, de géodésiquee , de courbure de l'espace temps,  etc...)   

           On peut commencer à se faire une première idée de ce que il est indispensable de maîtriser avec  ce petit document (relativement ) simple sur ces notions. https://www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Tenseur/rieaman_geometry.pdf 

          Il y en a sans doute beaucoup d'autres mais c'est celui que j'ai dans mes archives Net .

          A l'autre extrémité de la complexité, il y a par exemple cet ouvrage de Eric Gourgoulhon sur les mathématiques de la relativité   https://relativite.obspm.fr/3p1/  mais que on ne peut aborder , à mon avis, que si on a  déjà un niveau L3 ou plus sur le calcul différentiel et  les variétés différentiables . 

          En fait, c'est quoi finalement mathématiquement,l'étude de  l'espace-temps de la relativité générale : c'est l'étude une variété différentiable pseudo- Riemannienne ( ou encore Lorentzienne  ) de dimension 4, de signature 3+1.:p Les tenseurs ne sont qu'un  outil qui facilite le formalisme pour  l'étude de ses propriétés.  

          Mathématiquement , la RG  généralise les outils similaires mais un peu plus simples  de la relativité restreinte dont la géométrie peut être considérée comme celle d'une variété pseudo-euclidienne ( ou minkowskienne ). Je ne sais pas si vous maîtrisez l'approche mathématique  avancée de la relativité restreinte. Personnellement, je pense qu'il est bon de commencer par là avant de s'attaquer aux mathématiques de la RG.

          Eric Gourgoulhon a publié un ouvrage très complet sur la relativité restreinte où tous les outils mathématiques avancés y sont largement explicités  https://relativite.obspm.fr/ 

          Son cours niveau M2 sur la relativité générale est accessible ici : https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/fr/master/relatM2.pdf 

          Le site de l'auteur ici: https://luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/ 

           Il y a évidemment un nombre considérable d'autres ouvrages sur la relativité, peu qui abordent de façon spécifique les outils mathématiques nécessaires. A mon avis, ce que a écrit  cet auteur concentre en quelques ouvrages difficiles mais pédagogiques ( il ne faut pas espérer que même pédagogiques des ouvrages approfondis sur le sujet soient simples :-° !) tout ce qu'il y a à savoir pour acquérir un niveau avancé . 

          -
          Edité par Sennacherib 15 juillet 2019 à 11:02:47

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          tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable

          Exercice Produit tensoriel

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