Bonjour à tous !

Je suis ici pour un problème sur les classes d'équivalences.

Voici donc mon exercice :

On définit sur Z × Z ∗ la relation binaire R par : ∀((a, b),(x, y)) ∈ (Z × Z ∗ ) 2 , (a, b)R(x, y) ⇔ ay = bx.

Réflexivité et Symétrie et transitivité c'est bon mais pour les classes d'équivalence...

On note (a, b) la classe d'équivalence de (a, b). Déterminer les classes d'équivalence suivantes : (0, 1),(0, −1),(n, 1),(6, 2).

je sais que la classe de (0,1) c'est tous les (x,y) qui permettent de résoudre 0y = 1x or je trouve que ça va de (0,0) à (0,N) (Soit N un nombre appartenant à Z)

Donc j'aimerai savoir ce que vous en pensez parce que là j'ai un doute sur mon résultat.

Bonne Journée !

Bonjour,

Presque ! La classe de \((0,1)\) est bien l'ensemble \(\{(0,y) \;|\; y \in \mathbb{Z}\smallsetminus \{0\} \}\) (mais il n'y a pas \((0,0)\)). Le couple \((0,0)\) ne peut être dans aucune des classes de l'équivalence \(R\) puisque qu'il n'appartient pas à \(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\})\).

Au passage, une fois que tu auras déterminé les autres classes d'équivalence des couples que tu as citées, essaye de visualiser quel ensemble bien connu de nombres tu auras construit en t'intéressant au quotient \(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\}) / R\) !

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Edité par sylpro 30 mai 2016 à 13:00:05

Bonjour Sylpro et merci de m'avoir répondu,

Effectivement j'avais oublié le Z/{0} , donc la classe d'équivalence pour (0,-1) est la même (je suppose) par contre pour la classe de (n,1) n est un entier naturel ? ( ce n'est pas précisé donc je ne sais pas)

Cordialement

Si tu ne trouves pas pour (n,1), cherche d'abord la classe d'équivalence de (6,2), ça peut te donner une piste pour (n,1)

Dans \((n,1)\), \(n\) est n'importe quel entier relatif. Tu as déjà traité le cas où \(n=0\); et c'est le même raisonnement pour \(n \neq 0\) ! Quel est l'ensemble des couples \((x,y)\) (avec \(y \neq 0\)) qui vérifient \(ny=x\) ?

J'ai donc essayé de le faire avec (6,2) pour voir comment je dois m'y prendre pour (n,1) je trouve donc 6y = 3x <=> x = 3y 

j'en conclus que la classe d'équivalence est ((3y,y) | y appartient à Z/{0}) est-ce bien cela ?

Tout à fait !

La classe de \((6,2)\) est bien \(\{(3y,y) \;|\; y \in \mathbb{Z}\smallsetminus \{0\}\}\) !

Pour \((n,1)\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), c'est exactement la même chose - en plus simple puisqu'il n'y a rien à simplifier; avec la définition, tu as directement \(x\) en fonction de \(y\) !  Et bien sûr la classe que tu vas trouver dépend de \(n\) si c'est ça qui te pose problème.

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Edité par sylpro 30 mai 2016 à 15:45:33

D'accord et merci Sylpro, 

Donc je pense que la classe de (n,1) est donc {(ny,y)| y appartenant à Z/{0}} est-ce bien cela ? Désolé de vous faire perdre du temps mais en fait cela fait une heure que je cherche comment démontrer une loi de composition interne, je sais qu'on doit montrer qu'il existe un élément neutre, et montrer que son symétrique est aussi dans l'ensemble svp.

Oui, c'est bien cela !

Pour ton problème de loi de composition interne, vu ce que tu me dis, je pense que tu t'es mal exprimé : tu veux, je pense, montrer que ta loi de composition interne est une loi de groupe, n'est-ce pas ?

Si c'est bien le cas, tu dois démonter que cette loi est associative; qu'il existe un élément neutre pour cette loi; et que chaque élément admet une inverse (ou symétrique).

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Edité par sylpro 30 mai 2016 à 19:55:55

En fait on me demande de montrer que * est une loi de composition interne voici l'énoncé :

 Sur l’ensemble R \ {1}, on considère la loi :

x ∗ y = x + y − xy, ∀ (x, y) ∈ (R\{1}) ²

-Montrer que ∗ est une loi de composition interne

-Déterminer si (R \ {1}, ∗) est un groupe.

La première je n'ai pas trouvé comment faire et pour la seconde question je trouve que la relation n'est pas associative donc que ce n'est pas un groupe (est-ce bon ?) 

Bonne soirée 

Pour prouver que \(*\) est une loi de composition interne sur \(X\), il suffit de montrer pour tout couple d'éléments \((x,y)\) dans \(X\times X\), \(x*y\) appartient à \(X\).

Dans ton cas, tu dois donc montrer que, pour tous \(x,y \in \mathbb{R}\smallsetminus \{1\}\), \(\; x*y \in \mathbb{R}\smallsetminus \{1\}\).

Pour la deuxième partie, je ne suis pas d'accord avec toi ! Qu'as-tu calculé pour l'associativité ?

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Edité par sylpro 30 mai 2016 à 22:47:09

Désolé Sylpro je dormais , je viens de revérifier mon calcul et c'est bon en fait et j'ai aussi trouver que l'élément neutre est 0 par contre le symétrique kà je ne sais vraiment pas car il y a 2 opérations

par contre pour montrer que c'est une loi de composition interne y a t'il un raisonnement qu'on doit appliqué ou on doit se débrouiller en utilisant par exemple le raisonnement par l'absurde ?

Bonne journée 

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Edité par tdd 31 mai 2016 à 10:20:27

Pas besoin de raisonner par l'absurde ! Plutôt par contraposition par exemple (d'ailleurs on entend souvent absurde pour contraposition).

Voilà ce que je te suggère de démontrer : Soit \(x,y \in \mathbb{R}\). Montrer que si \(x+y-xy=1\), alors \(x=1\) ou \(y=1\).

Une fois que tu auras démontrer ceci, la contraposée de cette implication t'amènera à la conclusion voulue i.e. si \(x,y \in \mathbb{R}\smallsetminus\{1\}\) alors \(x*y \in \mathbb{R}\smallsetminus\{1\}\).

Bon après on peut aussi raisonner directement en remarquant que \(x*y=(x-1)(1-y)+1\) mais il me semble que le raisonnement précédent est plus naturel et accessible dans un premier temps.

Edit :

Je n'avais pas lu ton premier souci au niveau du symétrique : soit \(x \in \mathbb{R}\smallsetminus\{1\}\). Si \(y\) est le potentiel symétrique de \(x\), que doit-il vérifier ? Une fois trouvée la relation entre \(x\) et \(y\), il te suffira d'exprimer \(y\) en fonction de \(x\) (par exemple grâce à la relation que j'ai donnée un peu plus haut). Ça c'était pour le brouillon !

Ensuite, pour la rédaction de la réponse, il te suffit de vérifier (simplement le raisonnement du brouillon à l'envers) que le symétrique de \(x\) que tu viens de trouver en est bien un et qu'il appartient bien à \(\mathbb{R}\smallsetminus\{1\}\) !

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Edité par sylpro 31 mai 2016 à 11:00:18

D'accord oui j'avais pas pensé à ça merci une dernière question (désolé ) comment trouver le symétrique ici parce que d'habitude on a qu'une seule opération ! j'ai donc fait  (y est le symétrique de x) x*y = 0 <=> x+y-xy = 0 <=> y = -x+xy est-ce bon ?

Mince, si on se parle par "edit" interposés, c'est dur de suivre

Je t'ai donné quelques pistes pour cette question dans l'edit de mon post précédent. Le départ de ton raisonnement est bon, mais pour ta dernière étape, tu vas trop vite ! Tu dois factoriser par \(y\) avant de l'isoler !

D'accord j'ai donc suivi tes conseils et je trouve au final que y = -x/1-x quand je le replace dans mon expression x*y je tombe bien sur 0 le y est-il correct ou ai-je seulement fait une faute de calcul ?

Là il faut être sûr de toi !!! Oui ton expression est correcte - on peut faire un tout petit peu plus "joli" : \( \dfrac{-x}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}\). Le calcul de vérification étant relativement simple, tu dois être convaincu d'avoir juste ici !

D'accord merci Sylpro tu m'as beaucoup aidé je te souhaite  une bonne journée😊